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Corrige du devoir a la maison

UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques et Informatique Département de Mathématiques e année Master Analyse mathématique et application Module Théorie spectrale Devoir à la maison C Exercice Soit H l R et l'application Tn H ? H n ?? N dé nie par Tn x x x x xn n ?? o? x x xn ?? H avec C Montrer que Tn est un opérateur linéaire borné de rang ni ??n ?? N En déduire que l'opérateur T H ? H C dé nie par T x x x x xn n ?? est hermitien compact et ? ? Exercice Soit T ?? L H H est un espace de Hilbert un opérateur normal injetif Montrer que si T est à image dense T H il est injectif Montrer que le spectre résiduel de T est vide ?r T ? Corrigé Exercice pt Soit H l R et Tn x x x x xn n ?? o? x x xn ?? H avec B Tn est linéaire pt En e et soient x y ?? H et ? ?? R Tn ?x y ?x y ?x y ?x y ?xn yn n ?? ? x x x xn n ?? y y y yn n ?? ?T x T y Tn est borné pt Tnx n xk ? sup k k ?? k ?? n xk ? k n xk k x car k ?? donc Tnx ? x T est borné pt Tx ? xn n n ?? ? sup n ?? ? xk n x et d'aprés le C corollaire Si T est limite en norme d'une suite d'opérateur de rang ni Il est compacte On doit montrer que lim Tn ?? T n ? ? pt Tn ?? T sup Tn ?? T x l R x ? sup xn xn ? x ? n n sup sup x ? k ? n k ? k n xk sup k ? n k ? n ? ? T est hermitien autoadjoint pt Soient x y ?? H T x y ? xn n ?? yn ? xn yn n ?? n n x T y D'aprés le Théorème ? T ? pt car il est compact Exercice pt T est normal si et seulement si T x T x ??x ?? H et T est injective implique T est injetif T x ?? T x ?? T x ?? T x ?? x pt d'aprés la proposition et ker T T ? ?? T H donc T est à image dense pt Si T est normal pour tout ? ?? C T ? T ?? ?Id est normal T ? T ? pt T ? T ? Si ? ?? ? T alors ou bien T ? n'est pas injectif dans ces cas ? ?? ?p T ou bien T ? est injectif il est alors à image dense d'aprés la question il sera dans ?c T Donc ?r T ? pt