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Borel series divergentes LEÇONS SÉRIES DIVERGENTES DU MÊME AUTEUR Leçons sur la Théorie des fonctions Éléments delà théorie des ensembles et applications Grand in- ' fr o Yoiivelles leçons sur la théorie des fonctions ?? Leçons sur les fonctions entières

LEÇONS SÉRIES DIVERGENTES DU MÊME AUTEUR Leçons sur la Théorie des fonctions Éléments delà théorie des ensembles et applications Grand in- ' fr o Yoiivelles leçons sur la théorie des fonctions ?? Leçons sur les fonctions entières Grand in- fr o EX PREPARATION Nouvelles leçons sur la théorie des fonctions ?? Leçons sur les séries à termes positifs Grand in- NOUVELLES LEÇONS SUR LA THEORIE DES FONCTIONS LEÇONS SÉRIES DIVERGENTES Emile BOREL M VITRI? DI C iNOKMALE SUPliRlEURl i s PARIS GAUTHIER- VILLARS IMPRIMEUR-LIRRAIRE DE l'oBSKRVATOIRE D I? PARIS ET DU BUREAU DES LONGITUDES Quai des Grands-Augustins Tous liroils réservés Qft PRÉFACE L'accueil favorable que le public matbématicjue a bien voulu faire aux deux Ouvrages que j'ai déjà publiés sur la Tbéorie des fonctions m'est un précieux encouragement à continuer la t? che cpie j'ai entreprise Comme je l'ai déjà dit dans une précédente Préface mon intention est de faire para? tre une série de petits Livres qui soient autant que possible indépendants les uns des autres pour pouvoir lire chacun d'eux il suff? t de conna? tre les principes géné- raux de la Théorie des fonctions tels qu'ils se trouvent dans tous les cours d'Analyse La théorie des séries divergentes a fait l'objet de mon enseignement à l'École Normale en - mais ces Leçons sont notablement plus étendues que mon Cours le Chapitre V notamment renferme l'exposition de certains résultats nouveaux que j'ai obtenus depuis un an M Dauzats agrégé-bibliothécaire à l'Ecole Normale qui avait suivi mon cours avait bien voulu m'offrir de le ré- diger Par suite de diverses circonstances indépendantes de sa volonté il n'a pu donner suite que partiellement à ce projet la rédaction du Chapitre T lui est seule due Je tiens à lui exprimer ici ma vive reconnaissance pour les soins qu'il a donnés à cette rédaction Étant donné l'intérêt que me para? t présenter le problème des séries divergentes et vu les polémiques ardentes qu'il a autrefois soulevées j'ai cru devoir faire précéder d'une courte Introduction historique l'exposition des théories modernes Cette Introduction se termine par quelques considérations générales sur les séries divergentes et par uelques indications sur le plan de ces Leçons INDEX Pages I NTRODLT TION ?? Historique et généralités i Ch vp I ?? Les séries asymptotiques Chap II ?? Les fractions continues et la théorie de Stieltjes Chap III ?? La théorie des séries sommables Chap IV ?? Les séries sommables et le prolongement ana- lytique Chap V ?? Les développements en séries de polynômes i Table des matières LEÇONS SÉRIES DIVERGENTES INTRODUCTION HISTORIQUE ET GÉNÉRALITÉS Les séries divergentes axa ni ibel et Caucliy On s'accorde généralement pour dater les débuts de l'Analyse moderne des travaux d'Abel et de Cauchy Ce qui caractérise surtout ces deux géomètres c'est le souci de la rigueur parfaite des raisonnements c'est là la réforme essentielle qu'ils ont intro- duite dans les Mathématiques Sans doute avant eux bien des géomètres avaient fait des raisonnements rigoureux plusieurs même avaient une sûreté parfaite et ne se