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Banque finale enonce 2022 Banque épreuve orale de mathématiques session CCINP ?lière MP Mise à jour BANQUE ANALYSE EXERCICE analyse Énoncé exercice On considère deux suites numériques un n ??N et vn n ??N telles que vn n ??N est non nulle à partir d ? un

Banque épreuve orale de mathématiques session CCINP ?lière MP Mise à jour BANQUE ANALYSE EXERCICE analyse Énoncé exercice On considère deux suites numériques un n ??N et vn n ??N telles que vn n ??N est non nulle à partir d ? un certain rang et un ?? ? vn Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d ? un certain rang Déterminer le signe au voisinage de l ? in ?ni de un sh n ?? tan n Corrigé exercice Par hypothèse ?? N ?? N ?? n ?? N n N ?? vn Ainsi la suite un vn De plus comme un est dé ?nie à partir du rang ?? ? vn on a lim n ? ? un vn N Alors ?? ??N ?? N N N et ?? n ?? N n N ?? un ?? vn Prenons Fixons un entier N véri ?ant Ainsi ?? n ?? N n N ?? un ?? vn C ? est-à-dire ?? n ?? N n N ?? ?? un ?? vn On en déduit que ?? Et donc ?? n ?? N n n ?? N n N ?? N ?? un vn un vn Ce qui implique que un et vn sont de même signe à partir du rang N Au voisinage de ? sh n n n o n et tan n n n o n Donc un ?? ? ?? n On en déduit d ? après qu ? à partir d ? un certain rang un est négatif CC BY-NC-SA FR Page CBanque épreuve orale de mathématiques session CCINP ?lière MP Mise à jour EXERCICE analyse Énoncé exercice x On pose f x x Décomposer f x en éléments simples En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ??r r o? r Préciser ce développement en série entière et déterminer en le justi ?ant le domaine de validité D de ce développement en série entière a Soit anxn une série entière de rayon R ? On pose pour tout x ?? ??R R g x anxn n Exprimer pour tout entier p en le prouvant ap en fonction de g p b En déduire le développement limité de f à l ? ordre au voisinage de Corrigé exercice En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples on trouve f x x x D ? après le cours x ?? ? x et x ?? ? x sont développables en série entière à l ? origine De plus on a ?? x ?? ?? ? ?? nxn x n Et ??x ?? ?? x ? ?? n nxn ?? n obtenu par dérivation du développement précédent On en déduit que f est développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en série entière ? ? Et ?? x ?? ?? f x ?? nxn ?? n n xn n n ? C ? est-à-dire ?? x ?? ?? f