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Examen Alg` ebre I SMPC - Session Automne 2017 - Corrig´ e + Barˆ eme Exercice

Examen Alg` ebre I SMPC - Session Automne 2017 - Corrig´ e + Barˆ eme Exercice 1 (6 points) 1. z1 = −1, z2 = ei π 3 et z3 = ¯ z2 = e−i π 3 . (1 pt) 2. (a) z4 + 1 ¯ z = 0 ⇒z4 = −1 ¯ z ⇒|z|4 = 1 |z| ⇒|z|5 = 1 ⇒|z| = 1.(1 pt) (b) |z|2 = z¯ z = 1, donc z4 + 1 ¯ z = z3+1 ¯ z = 0 ⇒z3 + 1 = 0. les solutions sont z1, z2 et z3. (1 pt) 3. AB = |z2 −z1| = √ 3 = AC = BC. (1 pt) 4. Le triangle ABC est ´ equilat´ eral. (1 pt) 5. mes( [ AOB) = mes( \ − → OA, − − → OB) = arg(z2 z1) = arg(e2i π 3 ) = 2iπ 3 .(1 pt) Exercice 2 (5 points) 1. (a) P ′ = 3(X2 −1). Les racines de P ′ sont −1 et 1. (1 pt) (b) Si une racine double α existe, elle doit annuler P ′ donc α = −1 ou 1. Si α = −1 on a aussi P(α) = 0 = λ + 2 donc λ = −2 < 0. Or, λ > 0 donc α = 1 et la condition P(α) = 0 donne λ = 2. Donc P = X3 −3X + 2. (1 pt) (c) 1 est racine double de P et P est unitaire, donc P = (X −1)2(X −β). De P(0) = −β = 2 on tire β = −2. Donc, les racines de P sont −2 et 1. (1 pt) 2. On r´ esout x6 + 1 = 0, ce qui donne x = ±eiπ/6, ±e−iπ/6, ±i. Donc, Q = (X −eiπ/6)(X −e−iπ/6)(X + eiπ/6)(X + e−iπ/6)(X −i)(X + i), (1 pt) = (X2 − √ 3X + 1)(X2 + √ 3X + 1)(X2 + 1), ( 1 pt) Exercice 3 (4 points) 1. X5 X4 −1 = X + 1/4 X −1 + 1/4 X + 1 + −1/4 X −i + −1/4 X + i .(2 pts) 2. X + 1 X3(X2 + X + 1) = −1 X + 1 X3 + X + 1 X2 + X + 1.(2 pt) Exercice 4 (5 points) 1. Ω= (1, −3). R = 2. (1 pt) 2. (a) Equation param´ etrique : x = −1 + t, y = −3 + t, t ∈R. (1 pt) (b) Equation cart´ esienne : x −y −2 = 0. (1 pt) 3. d(Ω, D) = √ 2 < R donc il y a deux points d’intersection. Si le point M(t −1, t −3) ∈D appartient au cercle, il doit v´ eriﬁer (t −2)2 + t2 = 4 i.e. t = 0 ou 2. D’o` u, D ∩C = {(−1, −3), (1, −1)} .(1 pt) 4. La tangente ` a C au point A a pour ´ equation : x + 1 = 0. (1 pt) uploads/s1/ corrige-a17.pdf