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Exercice 73 page 115 (Méthode des directions alternées) 1. On a vu en cours qu’

Exercice 73 page 115 (Méthode des directions alternées) 1. On a vu en cours qu’une méthode itérative déﬁnie par u(0) ∈I Rn, u(k+1) = Bu(k) + c (1.136) converge si et seulement si ρ(B) < 1. Mettons donc l’algorithme (1.123) sous la forme (1.136). On a : (Y + αId)u(k+1) = −X[(X + αId)−1(−Y u(k) + b)] soit encore u(k+1) = (Y + αId)−1X(X + αId)−1Y u(k) −(Y + αId)−1X(X + αId)−1b + (Y + αId)−1b. On peut donc bien écrire la méthode (1.123) sous la forme (1.136) avec B = (Y + αId)−1X(X + αId)−1Y, et la méthode déﬁnie par (1.123) converge si et seulement si ρ(B) < 1. Il reste à montrer qu’elle converge vers u solution de Au = b. Soit u = lim u→+∞u(k). On veut montrer que Au = b. Comme u(k) converge et que u(k+1/2) est déﬁni par (1.123), on a aussi que u(k+1/2) converge. Soit v = lim h→+∞u(k+1/2). En passant à la limite dans (1.123), on obtient : (X + αId)v = −Y u + b, (Y + αId)u = −Xv + b. En additionnant et retranchant ces deux équations, on obtient : Xv + Y u + αId(u + v) = −Y u −Xv + 2b, (1.137a) Xv −Y u + αId(v −u) = −Y u + Xv. (1.137b) L’équation (1.137b) entraîne αId(v −u) = 0, c’est–à–dire v = u car α ̸= 0, et en reportant dans (1.137a), on obtient : (X + Y )u + 2αu = −(X + Y )u + b, soit encore (X + Y + αId)u = b, c’est–à–dire Au = b. 2. On veut montrer que si X + α 2 Id et Y + α 2 Id sont déﬁnies positives, alors ρ((X + αId)−1Y (Y + αId)−1X) < 1. On utilise la méthode proposée par l’énoncé. a) Grâce à l’exercice 41 sur les valeurs propres d’un produit de matrices, on sait que les valeurs propres de (Y + αId)−1X(X + αId)−1Y sont égales aux valeurs propres de Y (Y + αId)−1X(X + αId)−1. On a donc ρ((Y + αId)−1X(X + αId)−1Y ) = ρ(X(X + αId)−1Y (Y + αId)−1). b) Comme les matrices X(X + αId)−1 et Y (Y + αId)−1 sont symétriques, en posant Z = Y (Y + αId)−1X(X + αId)−1, on a : ρ(Z) = ∥Y (Y + αId)−1X(X + αId)−1∥2 ≤∥Y (Y + αId)−1∥2 ∥X(X + αId)−1∥2 et donc ρ(Z) ≤ρ(X(X + αId)−1)ρ(Y (Y + αId)−1). + b 2 c) Soit λ valeur propre de X, associée au vecteur propre w. On a Xw = λw et (X + αId)w = (λ + α)w, soit encore w = (λ + α)(X + αId)−1w. Donc Xw = λ λ + α(X + αId)w, soit encore (X + αId)−1Xw = λ λ + αw. On en déduit que µ = λ λ + α est valeur propre de X(X + αId)−1 associé au vecteur propre w. Pour que ρ(X(X + αId)−1) < 1, il faut et il sufﬁt donc que | λ λ + α| < 1 pour toute valeur propre de λ. Comme α > 0, si λ ≥0, | λ λ + α| = λ λ + α < 1. Si λ < 0, il faut distinguer le cas λ ≤−α, auquel cas | λ λ + α| = λ λ + α < 1 du cas λ ∈] −α, 0[. Remarquons qu’on ne peut pas avoir λ = −α car la matrice X + αId est supposée déﬁnie positive. Donc on a dans ce dernier cas : | λ λ + α| = −λ λ + α et la condition ρ(X(X + αId)−1) entraîne −λ < λ + α c’est–à–dire λ > −α 2 ce qui est équivalent à dire que la matrice X + α 2 Id est déﬁnie positive. d) On peut donc conclure que si les matrices (X + α 2 Id) et (Y + α 2 Id) sont déﬁnies positives, alors ρ(β) < 1 (grâce à b) et c)) et donc la méthode (1.123) converge. 3. Soit f ∈C([0, 1] × [0, 1]) et soit A la matrice carrée d’ordre n = M × M obtenue par discrétisation de l’équation −∆u = f sur le carré [0, 1] × [0, 1] avec conditions aux limites de Dirichlet homogènes u = 0 sur ∂Ω, par différences ﬁnies avec un pas uniforme h = 1 M , et b le second membre associé. (a) On rappelle que l’opérateur Laplacien est déﬁni pour u ∈C2(Ω), où Ωest un ouvert de I R2, par ∆u = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 . La discrétisation de −∆u = f est donnée en section 1.2.2 13. Déﬁnissons une discrétisation uniforme du carré par les points (xi, yj), pour i = 1, . . . , M et j = 1, . . . , M avec xi = ih, yj = jh et h = 1/(M + 1). En reprenant la technique exposée page 12 dans le cas 1D pour l’approxi- mation des dérivées secondes, et en utilisant l’ordre “lexicographique” pour numéroter les inconnues, on obtient un système linéaire Au = b. Pour ﬁxer les idées, nous prenons ici M = 3, et donc h = 1 4, comme décrit sur la ﬁgure ci-contre. Dans ce cas, on a 9 inconnues, et le système s’écrit Au = b où A est une matrice 9 × 9 et b = (b1, . . . , b9) ∈I R9, avec A = 1 h2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ et b = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ f(h, h) f(2h, h) f(3h, h) f(h, 2h) f(2h, 2h) f(3h, 2h) f(h, 3h) f(2h, 3h) f(3h, 3h) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Dans le cas général, on aurait une matrice avec la même structure, mais avec des blocs diagonaux de taille M × M. (b) On fait une itération dans la direction x et une autre dans la direction y, en choisissant les matrices X et Y avec X + Y = A et X = 1 h2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Y = 1 h2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Calculons les valeurs propres de la matrice X : c’est une matrice diagonale par blocs identiques, et chaque bloc est la matrice de discrétisation du laplacien unidimensionnel sur un maillage uniforme de M + 1 mailles de pas h = 1 M+1 de l’intervalle [0, 1]. Les valeurs propres de chaque bloc ont été calculées à l’exercice 55) : λk = 2 h2 (1 −cos kπh) = 2 h2 (1 −cos kπ n + 1), k = 1, . . . , n, Il est facile de voir que les valeurs propres de X sont égales à ces valeurs propres et que la matrice X est donc symétrique déﬁnie positive. La matrice Y est obtenue à partir de la matrice X par des permutations de ligne et colonne. En effet, la matrice Y est aussi la matrice de discrétisation du laplacien en une dimension d’espace (c’est-à-dire de −u′′ = f), mais dans uploads/s1/ corrige-exo73 1 .pdf