UPMC LicencedeScienceetTechnologies MentionIngénierieElectronique UE

 UPMC LicencedeScienceetTechnologies MentionIngénierieElectronique UELE31020112012  EcritRéparti1du14/10/11(2h)   Sansdocument–Sanscalculatrice  Lebarèmeetladuréesontindiquésàtitreindicatif  Exercice1:(5,5pts–30min)  Calculerleproduitdeconvolution   avec:            et              avec    Exercice2:(9pts–59min)  Soitlafonction,!  "  #! $ %& ' ( ,périodiquedepériode& ,telleque:   #!  ) *+, - ! . /   !  0  0  !  &  onsupposeque0  / 1 avec 2 / 2 1et0 2 &.  a. Tracerlegraphedelafonction.  b. EndéduirelecomportementasymptotiquedescoefficientsdeFourier.  c. CalculertouslescoefficientsdelasériedeFourierexponentiellede. Vousdevezobtenir: 3#   . 0 & 41 . /  $ 5 36  7 896 1 $ +7:;< = - .  $ /> . *+,? @6:9:- +7:;< = - $ A>avecB  C$ApourDEF .  d. EndéduiretouslescoefficientsdelasériedeFourierexponentiellede !  " #! $ %& ' ( avec #!   *+, ? ! . /   !  &    e. EndéduiretouslescoefficientsdelasériedeFouriertrigonométriquede . Vousdevezobtenir: #  1 . /etpourD G A6  et/6  $ *+, 96   f. EndéduiretouslescoefficientsdelasériedeFouriertrigonométriquede!  " #! $ %& ' ( avec #!    ? !  $ ? 8  !  ? 8    g. VersquellevaleurlasériedeFouriertrigonométriquedeconvergetelleauxinstants!  ? 8et!  &? Commentervosrésultats.   Lasuiteestauverso   Annales corrigées 2012  Exercice3:(3pts–10min)  a. Al’aidedespropriétésdelatransforméedeFourier,calculerlatransforméedeFourierdelafonction suivante: !     !  &   avec &   b. EndéduirelatransforméedeFourierduproduitdeconvolution!   !noté HI.  c. De l’expression de  HI en déduire la représentation graphique de ! et son expression mathématique.  Exercice4:(1,5pt–10min)  Tracerlesreprésentationsdesdistributionssuivantes:  a. J+8 $ JK  b. L?  c. $L? M! . ? @N  d. L? . L8?  Exercice5:(1,5pts–10min)  Soit O une fonction test quelconque dans . Parmi les applications suivantes, quelles sont celles qui définissentunedistribution?  a. P& K OQ  " O6 RS 6T#   b. P&8 OQ  " O6D RS 6T#  2  UPMC LicencedeScienceetTechnologies MentionIngénierieElectronique UELE31020112012  EcritRéparti2du18/11/11(2h)   Sansdocument–Sanscalculatrice  Lebarèmeetladuréesontindiquésàtitreindicatif  Exercice1:(3pts–15min) Soitlafonctionsuivante: #!  U !  2 ! 2 A  $ ! A 2 ! 2     a. Représentergraphiquement K!  #!V LAWXpour! Y$A Z[.  b. Représentergraphiquement8 !  #! Lpour! Y$X \[.  c. Représentergraphiquement ]!  #! LApour! Y$X \[.  Exercice2:(9pts–40min)  Soitlafonction,!  "  #! $ %& ' ^ ,périodiquedepériode& _ R,telleque:   #!  ) *+, - ! . /   !  0  0  !  &  onsupposeque0  / 1 _Ravec 2 / 2 1et0 2 &.  a. TracerlegraphedeladistributionY[.  b. TracerlegraphedesadérivéepremièreY[`etexprimerY[`ausensdesdistributions.  c. TracerlegraphedesadérivéesecondeY[``etexprimerY[``ausensdesdistributions. Vousdevezobtenir: Y[``  ab $ c d efL&! $ L&! $ 0g . c $ hL& i ! . h $ bL& i ! $ 0  d. Donnerl’expressiondudéveloppementensériedeFourierexponentielledesdistributionsL& jk! $ 0 etL& jki! $ 0.  e. Endéduirel’expressiondudéveloppementensériedeFourierexponentielledeY[``àpartirdecelui despeignesdeDirac.  f. On note 36 , les coefficients du développement en série de Fourier de . Donner l’expression du développementensériedeFourierexponentielledeY[``àpartirdeceluideY[.  g. Ecrirel’égalitédesdéveloppementsprécédents,puisendéduirel’expressiondetouslescoefficientsde lasériedeFourierexponentielle,36pourD ^ ,de!. Vousdevezobtenir: 36  7 896 1 $ +7:;< = - .  $ /> . *+,? @6:9:- +7:;< = - $ A>avecB  C$ApourD ^ .  h. Calculer3#. Lasuiteestauverso Exercice3:(5pt–30min)  Remarque:danscetexerciceonnes’occuperapasdedéfinirledomained’existencedestransforméesde Laplace.  a. Rappelerl’expressiondelatransforméedeLaplace,notélKm,delafonctionK!  !!où! estl’échelondeHeaviside.  b. Donnerl’expressiondelafonction8!,représentéeenfigure1,enfonctiondeK!puisendéduire satransforméedeLaplace,notél8m.  c. Donnerl’expressiondelafonction]!,représentéeenfigure2,enfonctiondeK!et8!puis endéduiresatransforméedeLaplace,notél]m.  d. Retrouverl]mdelafonction]!àpartirdeladéfinitiondelatransforméedeLaplace. Vousdevezobtenir: l]m  A $ +?n . +8?n m8  A $ +?n8 m8  X+?n m8 8&m  o   e. EndéduirelatransforméedeLaplace,notél@m,delafonction@!  " ]! $ %& RS 'T# .            Fig.1:Représentationde8!. Fig.2:Représentationde]!.  Exercice4:(5pts–30min)  Soitlefiltre(Fig.1)définiparl’équationdifférentiellesuivante:08 pq pr . !  ! . 0K ps proù0K  3Ket 08  3K . 38.UtiliserlatransforméedeLaplacepourrésoudrecetteéquationdanslecasoùlasortie estdansl’étatinitial R  tetRseradéduitde!:  a. Onappliqueàl’entréelesignal!  !où!estl’échelondeHeaviside.  b. Onappliqueàl’entréelesignal!représentéenfigure2.            Fig.1:Représentationdufiltre. Fig.2:Représentationde!.  t T 0 1 ! ! ! 3K 38  8! ! & 0 & & ]! ! & 0 & & Autre méthode (MD) : b. h2(t) = t . { u(t) - u(t-T) } + ( 2 .T - t ) . u(t-T) = t . u(t) - 2 . ( t - T ) . u(t-T) = h1(t) - 2 . h1(t-T) c. h3(t) = t . { u(t) - u(t-T) } + ( 2 .T - t ) . { u(t-T) - u(t-2T) } = t . u(t) - 2 . ( t - T ) . u(t-T) + ( t - 2 . T ) . u(t-2T) = h2(t) + h1(t-2T)  UPMC LicencedeScienceetTechnologies MentionIngénierieElectronique UELE31020112012  EcritRéparti3du14/12/11(2h)   Sansdocument–Sanscalculatrice  Lebarèmeetladuréesontindiquésàtitreindicatif  Exercice1:(2pts–5min)  Déterminerlespointsparticuliers(zéroetpôle)enprécisantleurordredelafonctioncomplexedela variablecomplexesuivante: u  u$ . u8 u . u $ A . Z]  Exercice2:(3pts–10min)  Soitv w  1x 1w  a. Montrerquev westharmonique. b. Déterminert wpourqueu  v w . t wsoitunefonctionholomorphe. c. Endéduirequeu  1x u . yoùu   . wavecy  w _.  Exercice3:(3pts–15min)  Montrerquelafonctionu  u . u   o oùu représenteleconjuguédunombrecomplexeu,n’estpas dérivable.  a. Apartirdeladéfinitiondeladérivée. b. ApartirdesconditionsdeCauchy.  Exercice4:(2pts–5min)  Soitlafonctioncomplexedelavariablecomplexesuivante:  u  u u .   DévelopperensériedeLaurentetdéfinirlesdomainesdevaliditésdeuautourdeu  u#.  Exercice5:(3,5pts–20min)  Soitlafonctioncomplexedelavariablecomplexesuivante:  u  u $  K 8V u .  K ]  a. Déterminerlespointsdebranchementsdeu. b. Quellecoupureproposezvous? c. Onfixeladétermination  $K ] o Vz{; | ,calculer $ A.Ontravailleaveclaconventionoùtous lesanglessontdéfinisdanslesenstrigonométrique.  Lasuiteestauverso Exercice6:(2,5pts–15min)  Calculerl’intégralesuivante:   } A u]u . A ~u    Où€estlecontourorientépositivement(danslesenstrigonométrique),définipar:  a. u  ] @.  b. ‚u . K 8‚  .  c. u $   K 8.  Exercice7:(3pts–25min)  Calculerl’intégrale,cidessous,eneffectuantlechangementdevariableu  zƒ.   „ Z  . 1x ~ 89 #    Exercice8:(4pts–25min)  Onveutcalculerl’intégralesuivante:  „  Z . 8 ~ RS +S   Pourcela,onconsidèrelecontour€  Y$ † [ ‡ € ˆorientépositivementdelafigure1avecRtrèsgrand et€ ˆl’arcdudemicerclederayon‰etdecentrel’originedurepère.  a. CalculerŠ 8 ]R‹: ~u  .  b. MontrerqueŒŽ‹TRS ‘ 8 ]R‹: ~u ’  .  c. Endéduirelavaleurde‘ 8 ]R: ~ RS +S puisde‘ 8 ]R: ~ RS # .          Fig.1:Représentationducontour€.  x y 0 R R iR R i i i i i  UPMC LicencedeScienceetTechnologies MentionIngénierieElectronique UELE31020112012  Ecritsecondesessiondu17/01/12(2h)  Sansdocument–Sanscalculatrice  Lebarèmeetladuréesontindiquésàtitreindicatif  Exercice1:(7pts–40min)  Soitlafonction,!  "  #! $ %& ' ^ ,périodiquedepériode& _ R,telleque:   #!   MA $ @ ?: !8N   $ ? 8  !  ? 8  onsupposeque _ R.  a. TracerlegraphedeladistributionY[.  b. TracerlegraphedesadérivéepremièreY[`.  c. TracerlegraphedesadérivéesecondeY[``etexprimerY[``ausensdesdistributions.  d. Donnerl’expressiondudéveloppementensériedeFourierexponentielledeladistributionL& jk! $ 0.  e. Endéduirel’expressiondudéveloppementensériedeFourierexponentielledeY[``àpartirdeceluidu peignedeDirac.  f. On note 36 , les coefficients du développement en série de Fourier de . Donner l’expression du développementensériedeFourierexponentielledeY[``àpartirdeceluideY[.  g. Ecrirel’égalitédesdéveloppementsprécédents,puisendéduirel’expressiondetouslescoefficientsde lasériedeFourierexponentielle,36pourD ^ ,de!. Vousdevezobtenir: 36  $ 8 9:6: $A6pourD ^ .  h. VérifierlecomportementasymptotiquedescoefficientsdeFourier.  i. Calculer3#.  j. Endéduiretouslescoefficients,6et/6,delasériedeFouriertrigonométriquede.  Exercice2:(7pts–40min)  Soitunfiltre 3passebasdéfiniparl’équationdifférentiellesuivante:0 pq pr . !  !où0  3et !,!représententrespectivementlatensionensortieetenentréedufiltre.Onveutrésoudrecette équationdanslecasoùlasortieestdansl’étatinitial R  tetonappliqueàl’entréelesignal! représentéenfigure1.        Fig.1:Représentationde!.  a. Résoudre l’équation différentielle sachant que la sortie ! est relié à l’entrée ! à l’aide d’un produit de convolution: !  ! ! avec !  “+r - o ” 0 o !, appelée la réponse impulsionnelledufiltre,où!estl’échelondeHeaviside.  Lasuiteestauverso t T 0 A ! b. Résoudrel’équationdifférentielleàl’aided’unetransforméedeLaplace.  c. Résoudrel’équationdifférentielleenutilisantlatransforméedeFourier.  c1. Pour cela démontrer que la transformée de Fourier de ! peut s’écrire sous la forme •I   8z9– “A $ +z89–?”.  c2. Dansledomainespectralretrouverl’expressionsuivante: —I •I   KR8z9–- $  KR8z9–- +z89–?.  c3. Endéduireuneexpressionde~ ! ~! o dansledomainetemporelàl’aidedespropriétés de la transformée de Fourier inverse et sachant que la transformée de Fourier de ˜™  š+›œ™est˜ ž  K ›R8Ÿoùh _ R.  c4. Enintégrantl’expressionobtenuprécédemment,endéduirelasolution !.  Remarque:Alasuitedestroisquestionsa),b)etc)vousdevezobtenirlamêmesolution.  Exercice3:(7pts–40min)  Onveutcalculerl’intégralesuivante:  ‘ RK |RK ~ RS +S   a. Montrerque  ‘ K |RK ~ RS +S .  Pourcalculer ,onconsidèrelecontour€ K  Y$ † [ ‡ € ˆorientépositivementdelafigure1avec très grandet€ ˆl’arcdudemicerclederayon‰etdecentrel’originedurepère.  b. CalculerŠ K ‹|RK ~u  .  c. MontrerqueŒŽ‹TRS ‘ K ‹|RK ~u ’  .  d. Endéduirelavaleurde  —C  o .  Maintenant,onveutcalculerl’intégralesuivante:¡  ‘ RK |RK ~ RS #   e. Montrerque¡  ‘  |RK ~ RS # . 9C8 @ .  Pourcalculer‘  |RK ~ RS # ,onconsidèrelecontour€ 8  Y† [ ‡ € ˆ ‡ Y † [orientépositivementdela figure2avec trèsgrandet€ ˆl’arcdecerclederayon‰etdecentrel’originedurepère.  f. CalculerŠ ‹ ‹|RK ~u : .  g. Montrer que Š ‹ ‹|RK ~u   ‘  |RK ~ . ‘ ‹ ‹|RK ~u ’  # :  . (Pensez au changement de variable u   pourl’intégralesurlesegmentY † [).  OnadmetqueŒŽ‹TRS ‘ ‹ ‹|RK ~u ’  .  h. Endéduirelavaleurde‘  |RK ~ RS # puisde¡.             uploads/s3/ annales-corriges 1 .pdf

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