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7C - Lycée IFFET Mathématiques Novembre 2013 Etbs Bourge 7C - Lycée IFFET Cours

7C - Lycée IFFET Mathématiques Novembre 2013 Etbs Bourge 7C - Lycée IFFET Cours d’Arithmétiques Mahfoudh Mohamed Ammou Page 1 I- DIVISION EUCLIDIENNE 1- Multiples et diviseurs d'un entier relatif 1.1-Définition :  Un entier relatif a est un multiple d'un entier relatif b si et seulement si il existe un entier relatif q tel que a = bq.  On dit que b est un diviseur de a ou que b divise a et on le note b /a (b divise a).  ex : 35 est un multiple de 5 et 5 est un diviseur de 35 1.2- Propriétés :  Ensembles des multiples d'un entier relatif : Soit a , les multiples de a sont : -ka, -(k-1)a, ..., -a, 0, a, ... , ka, ... ( k). On note a l'ensemble des multiples de a. En particulier, l'ensemble des multiples de 0 est {0} et l'ensemble des multiples de 1 est Z.  La relation "divise" est une relation d'ordre dans IN* - elle est réflexive : pour tout a a/a   . - elle est antisymétrique : si a | a' et a' | a, alors a = a'. - elle est transitive : si a | a' et a' | a" alors a | a". Remarque : La relation "divise" est une relation d'ordre partiel. En effet on n'a pas nécessairement que a divise b ou b divise a.  Soit a, b, c appartenant à , si a divise b et b divise c alors a divise c.  Si b | a alors –b | a  Si a | b et b | a alors a = b où a= -b  Si c | a et c | b alors c divise (a+b), (a-b), ax+by pour tous entiers x, y 2- DIVISION EUCLIDIENNE 2.1- Théorème Soit a et b  , il existe un entier relatif unique q et un entier naturel unique r tel que : a bq r   avec 0 r b   . 2.2- Définition Soit a et b  . Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est déterminer q et r tels que a bq r 0 r b.     (a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste). Remarques : - 0 a b   , alors q = 0 et r = a. - Si r = 0, a est un multiple de b et q est le quotient exact de a par b. 2.3- Division de même reste Soit a,a',btels que r est le reste commun dans la division euclidienne de a et a' par b. On a a = bq + r et a' = bq' + r avec 0 r b   Alors a-a'=b(q-q') , donc a - a' est un multiple de b. Réciproquement, si a - a' = bm et a' = bq' + r avec 0 r b   , alors a = b(q' + m) + r 0 r b   , donc r est reste de la division de a par b. Théorème : Soit a,a',b, a et a' ont le même reste dans la division euclidienne par b si et seulement si la différence a-a' est un multiple de b. II- CONGRUENCES 1- Définition Soit n, les entiers relatifs x et y sont congrus modulo n lorsqu'ils ont le même reste dans la division euclidienne par n. On écrit   x y mod n  ou  x y n  . Exemple :  4 11 7  et  11 4 7  . 2- Propriétés Cette relation « congru à » est une relation d'équivalence : Deux nombres congrus à un troisième sont congrus entre eux. Soit n, l'ensemble des entiers congrus modulo n, est un ensemble fini à n éléments. On le note  / n 0,1,...,n 1          Tout entier relatif x est congru au reste r de la division euclidienne de x par n. Donc x r   . Exemples:   /1 0    ,   / 2 0,1    avec   0 x,x ,x 2k,k        et   1 x,x ,x 2k 1,k         La relation de congruence est compatible à l'addition et la multiplication dans Z. x y x y       et x y x y       3- Exemple dans /5  , on a 4 3 7 2        et 3 2 6 1        Exercice : donner les tables d'addition et de multiplication dans /3   et dans /5  . III- NUMERATION 1- Développement d'un entier suivant les puissances de b  Soit b un entier supérieur à 1, et x un entier non nul. Il existe un unique entier n tel que n n 1 b x b    .  Soit b un entier supérieur à 1, et x un entier non nul. Il existe un entier n et des entiers uniques 0 1 2 n x ,x ,x ,...,x tels que n k k k 0 x x b   soit n n 1 n n 1 1 0 x x b x b ... x b x        avec k 0 x b   pour tout   k 0,1,...,n 1   7C - Lycée IFFET Mathématiques Novembre 2013 Etbs Bourge 7C - Lycée IFFET Cours d’Arithmétiques Mahfoudh Mohamed Ammou Page 2  L'expression 2 n 0 1 2 n x x x b x b ... x b      est appelée développement de l'entier x suivant les puissances de b. 2- Recherche du développement de x suivant les puissances de b - On divise x par b : 0 0 x q b x   où 0 x est le reste de la division. - On divise le quotient 0 q par b : 0 1 1 q q b x   où 1 x est le reste de la division. On a alors :   2 1 1 0 1 1 0 x q b x b x q b x b x       . - On divise le quotient 1 q par b : 1 2 2 q q b x   où 2 x est le reste de la division - On refait l'opération jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à b. Soit n 1 q  le premier quotient inférieur à b. On pose n 1 x q   n 0 x b   . d’où l’écriture n 2 n k 0 1 2 n k k 0 x x x b x b ... x b x b        Exemple 1 : Développement de 4606 suivant les puissances de 12 12 quotient 4606 10 reste 383 11 31 7 2 2 d’où 3 2 4606 2.12 7.12 11.12 10     Exemple 2 : 5 4 3 2 1 0 54=1.2 +1.2 +0.2 +1.2 +1.2 +0.2 3- Système de numération de base b ( b>0 ) a) Définition  Un système de numération est une manière de représenter tout entier naturel  Une méthode consiste à choisir un entier naturel b ( b > 1), à définir b symboles et à écrire tout entier naturel à l'aide de ces symboles.  On dit qu'on a alors défini un système de numération de base b.  Ces symboles utilisés sont appelés les chiffres de ce système. Exemples : Système binaire (base 2) : les chiffres sont 0 et 1. Système décimal (base 10) : chiffres : 0,1,...,9. Système hexadécimal (base 16) : 0,1,…,9,a,b,…,f. b) Système de numération de base b (b>0)  Soit x  et n k k k 0 x x b   le développement de x suivant les puissances de b. Chacun des entiers 0 1 2 n x ,x ,x ,...,x est un chiffre et x est déterminé par les données de ces (n+1) chiffres. On écrira x sous la forme   n n 1 n 2 1 0 b x x x x ...x x    .  Cette expression est appelée écriture de x dans le système de numération de base b. Ex:  2 8 1000  16 11  12 4606 27    Lorsque la base n'est pas précisée il est sous entendu que l'on utilise la base décimale (base 10). Remarques  Comparaison de 2 entiers écrits dans le même système de numération. Pour comparer 2 entiers écrits en base b, on compare uploads/s3/ cours-arithmetique.pdf