Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Distributions 2018-2019, S1, Devoir maison Exercice 1. Soit (Tn)n≥1 = (Tun)n≥1

Distributions 2018-2019, S1, Devoir maison Exercice 1. Soit (Tn)n≥1 = (Tun)n≥1 ∈D′() la suite de distributions associ´ ees aux fonctions un ∈L1 loc() d´ eﬁnies par un(t) =        t2, if t ≤n, n2, if t > n. 1. Calculer T ′ n, T ′′ n et T ′′′ n . 2. Quel est l’ordre de T ′′′ n ? 3. D´ eterminer limn→∞T ′′′ n dans D′(). Exercice 2. On consid` ere dans le plan la distribution d´ eﬁnie par la fonction E ∈L1 loc(2) E(x, t) =        1 2 t −|x| > 0 0 t −|x| < 0. On pose □= ∂2 ∂t2 −∂2 ∂x2 (op´ erateur des ondes). Calculer □E au sens des distributions. Exercice 3. 1. Soit ϕ ∈C∞ c (). Montrer que l’expression suivante d´ eﬁnit une distribution T ∈D′() d’ordre au plus 1 : ⟨T, ϕ⟩= ∞ X k=1 1 √ k ϕ 1 k ! −ϕ −1 k !! . 2. Montrer que T est d’ordre exactement 1. Indication : on pourra utiliser des fonctions plateau ψn ∈C∞ c ([ 1 n+1, 2]) telles que ψn ≡1 dans [1 n, 1]. 3. Montrer que supp(T) = {0} ∪{ 1 k : k ∈Z, k , 0}. 4. Montrer que la suite de fonctions (ϕn)n≥1 ⊂C∞ c (R) d´ eﬁnie par ϕn(t) = n−3/2ψn(t) v´ eriﬁe — pour tout p ≥1, ϕ(p) n →0 uniformement sur supp(T) lorsque n →∞. — ⟨T, ϕn⟩̸→0 lorsque n →∞. 5. En d´ eduire qu’il n’existe pas d’entier k et de constante Ck tels que pour tout n ≥1 ⟨T, ϕn⟩≤Ck max p≤k max x∈supp(T) |ϕ(p) n (x)|. Est-ce que ceci contredit le fait que T soit une distribution ? 1 uploads/s3/ distributionsdevoir-a-la-maison.pdf