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Prof. TCHETCHE - Mécanique EPSS 2020-2021 12 CH3 : CINEMATIQUE DU POINT MATERIE

Prof. TCHETCHE - Mécanique EPSS 2020-2021 12 CH3 : CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL 1/ Définition 1-1/ La cinématique La cinématique est l’étude des mouvements des corps indépendamment des causes qui les provoquent. C’est une notion purement mathématique appliquée à la physique 1-2/ Repère d’espace Pour transmettre des informations relatives à l’observation d’un phénomène physique, (passage d’une particule par exemple) il est indispensable de réaliser ce phénomène dans l’espace d’où la notion de repère. 1-2-1/ Repère orthonormé On choisit par commodité un repère d’espace orthonormé que l’on note (R) d’origine O et vecteur de base    k , j , i en représentation cartésienne. on a        k z j y i x OM 1-2-2/ Repère cylindrique Soit le repère N = projection de M  r u : vecteur unitaire sur l’axe X1   u : vecteur unitaire sur l’axe Y1  à X1 Le repère cylindrique est noté (O,     k , u , u r ) et       k z u OM r avec  = ON Remarque Si z = 0 à  moment, on a r u ON     On passe ainsi de la représentation cylindrique à la représentation polaire dans le plan xOy Z j  i  k  O M (x , y ,z )) Y O X u   u r  N et le X Y u r  u   k  i  j  X1 Z Y1 M N O  Prof. TCHETCHE - Mécanique EPSS 2020-2021 13 1-2-3/ Repère de Frenet Soit une courbe (C), et un point M qui se déplace sur cette courbe. Considérons le repère ) N , T , M (   qui est mobile par rapport au repère fixe (R), ce repère est dit repère de Frenet. 2/ Vitesse d’un mobile dans un repère (R) La vitesse caractérise la variation du déplacement. 2-1/ Vitesse moyenne M et M’ sont deux positions du mobile aux instants t et t’. Le mobile se déplace sur la trajectoire C. Par définition la vitesse moyenne entre les points M et M’ est le vecteur t ' MM vm     2-2/ Vitesse instantanée Quand on considère des instants t’ de plus en plus proche de t, le vecteur vitesse moyenne m v  tend vers le vecteur vitesse instantanée  v du mobile au point M à l’instant t (qui est une tangente à la courbe (C) au point M ) t ' MM lim v 0 t       Dans la pratique, la vitesse en M du point matériel est donné par dt dOM dt ) t ( dr v      la dérivée du vecteur position dt ds V   s = ' MM est l’abscisse curviligne Coordonnées cartésiennes        k ) t ( z j ) t ( y i ) t ( x ) t ( r          k dt ) t ( dz j dt ) t ( dy i dt ) t ( dx dt dr v           k z j y i x v        k v j v i v v z y x M’ ( C ) M t t’= t + t v m  T  N  M (C) X Y Z ( R ) ( C ) O r + r r M M’ r  v Prof. TCHETCHE - Mécanique EPSS 2020-2021 14 Coordonnées cylindriques       k ) t ( z u ) t ( r r ) k z u ( dt d dt dr v r                    k dt dz dt u d u dt d dt dr v r r Or           u dt d d u d dt u d r r   u vecteur unitaire orthoradial               k z u u v r En polaire z=0            u u v r 3/ Accélération Elle caractérise la variation de la vitesse. 3-1/ Accélération moyenne Par définition l’accélération moyenne entre deux points est le vecteur : t V V ' m        3-2/ Accélération instantanée Il est souvent important de connaître la variation de la vitesse instantanée d’un instant à l’autre.  v = variation de la vitesse  v pendant l’intervalle de temps t si t  0 on définit une nouvelle grandeur vectorielle qui est l’accélération. dt dv t v lim 0 t           De manière pratique on a : 2 2 2 2 dt ) OM ( d dt r d dt dr dt d                 Coordonnées cartésiennes dt dv                   k z j y i x Dérivée seconde de x, y et z par rapport à t Coordonnées cylindriques En dérivant            u u v r ( C ) M , t M’ , t’ v  v  V'  V'  V v v      ' Prof. TCHETCHE - Mécanique EPSS 2020-2021 15 On obtient                            k z u ) 2 ( u ) ( r 2 En polaire z = 0                        u ) 2 ( u ) ( r 2 3-3/ Accélération normale et tangentielle En repère de Frenet, on a :    T v v . On montre alors que l’accélération   est donnée par la relation :       N R v T dt dv 2         N T N T R = rayon de courbure de la courbe (C) T = accélération tangentielle N = accélération normale 4/ Application : Etude de mouvements usuels 4-1/ Mouvement rectiligne 4-1-1/ Mouvement rectiligne uniforme 0 0 0 x x t 0 0 0 0 0 0 x t V x t V x x ' dt V ' dx dt V dx V dt dx 0 constante V V 0                       4-1-2/ Mouvement rectiligne uniformément varié ) 2 ( x t V t 2 1 x t V t 2 1 x x ' dt ) V ' t ( ' dx Vdt dx ) 1 ( V t V t V V ' dt ' dV dt dV constante dt dV 0 0 2 0 2 0 x x t 0 0 0 V V t 0 0 0 0                                      Remarques  >0 ; v > 0 le mouvement est accéléré.  <0 ; v < 0 le mouvement est retardé.  En éliminant t des équations (1) et (2) du mouvement nous avons ) x x ( 2 V V 0 2 0 2     X Y ( C )  R M T  N  O Prof. TCHETCHE - Mécanique EPSS 2020-2021 16 4-2/ Mouvement circulaire 4-2-1/ Mouvement circulaire uniforme r r u R u OM             u R v          N R v u R 2 r 2 On a ici une accélération centripète (dirigée vers le centre). Le mouvement étant circulaire et uniforme nous avons : cst R R V 0       vitesse linéaire 0 dt d     vitesse angulaire 0 0t       Equation horaire angulaire 4-2-2/ Mouvement circulaire uniformément varié Nous avons ici : ) 4 ( t Kt 2 1 dt d ) 3 ( Kt 0 K dt uploads/s3/ meca-ch3-epss-vf-20-21.pdf