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Lois Continus LOI NORMALE LOI KHI 2 LOI STUDENT LOI NORMALE n o m b r e d’ i n

Lois Continus LOI NORMALE LOI KHI 2 LOI STUDENT LOI NORMALE n o m b r e d’ i n d i v i d u s taille (cm) 140 160 180 200 120 2 1 0 3 n o d’ i n d i v i d u s taille (cm) 160 180 200 120 140 m b r 15 e 10 5 20 n o m b r e 160 180 200 taille (cm) 100 d’ i n d i v i 50 d u s 0 120 140 150 n o m b e d’ n d i v i d u s i 1000 500 0 120 140 r 1500 n o m b e d’ n d i v d u s 160 180 200 taille (cm) i 4000 i 2000 0 120 140 160 180 200 taille (cm) r 6000 Echantillon de 10 individus Echantillon de 100 individus Echantillon de 1000 individus Echantillon de 10.000 individus Echantillon de 100.000 individus. Supposons que nous tirions des échantillons aléatoires d'une population dont la taille moyenne est de 170 cm, avec un écart type de 10 cm. Traçons l'histogramme de la taille LOI NORMALE □Au fur et à mesure que la taille de l'échantillon augmente (et que la taille des classes diminue), l'histogramme devient de plus en plus régulier et se rapproche d'une courbe en cloche, appelée loi normale. LA LOI NORMALE C’est possiblement la loi la plus importante de la théorie statistique. Pourquoi? ■Elle fournit une bonne description de certains phénomènes réels. Les distributions qui sont souvent proches de la normale: □Résultats de tests d’aptitude pris par plusieurs personnes (résultats d’examens, tests de QI). □Mesures répétées avec soin de la même quantité avec des équipements de laboratoires. ▪Bonne approximation d’expériences impliquant un résultat au hasard, comme le lancer d’une pièce un très grand nombre de fois où l’on regarde le nombre de piles. Forme de la distribution normale  x f(x) ➢Il existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne et leur variance ➢Courbe en cloche ➢Courbe symétrique ➢La moyenne, le mode et la médiane correspondent au même point (le point le plus élevé) ➢L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est grand, plus la courbe sera large et aplatie ➢L’aire totale sous la courbe est 1 ➢Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss Exemples de lois normales • Moyenne : 0 • Écart type : 3 • Moyenne : -1 • Écart type : 0,5 • Moyenne : 4 • Écart type : 1 Cas particulier très utile    x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 95 % des x Représentation graphique Distribution normale □68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle ] □95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle ] □99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle ] E(X) =  VAR(X)  Distribution normale P(a x b) = F(b)- F(a) • Comment calculer l’aire sous la courbe? • On utilise la table de distribution normale centrée réduite La loi normale centrée réduite  □Une v.a.c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite. □Cette variable est souvent dénotée par la lettre Z □On peut convertir une v.a.c. X qui suit une loi normale de moyenne et écart type en une variable normale centrée réduite Z : x  Z  La loi normale centrée réduite □Étant donné une valeur z, nous utilisons la table normale centrée réduite pour trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée. La loi normale: N(µ,σ) - 4 - 2 0 2 4 f(x) 0,5 0,5 Courbe de distribution normale Aire totale sous la courbe = 1 m   Valeurs de x    Courbe de distribution normale -4 -2 0 2 4 Valeurs dez f(z ) 0,5 0,5 Aire sous la courbe = 1 La loi normale centrée réduite N(0,1) Exemple Un marchand vend de l’huile à moteur. Lorsque l’inventaire de l’huile à moteur descend à 20 gallons, une commande est effectuée auprès du fournisseur. Le gérant du magasin a remarqué qu’il perdait des ventes lorsqu’il était en attente du nouveau stock. Il avait déterminé que la demande lorsqu’on est en attente du nouveau stock suit une loi normale de moyenne de 15 gallons et un écart type de 6 gallons. Le gérant aimerait savoir quelle est la probabilité d’une rupture de stock? Exemple: □ X est la variable aléatoire qui représente la demande en gallons d’huile à moteur en période d’attente de stock ■ On cherche P(X > 20) □ Définissons: Z = (X - )/ ■ P(X > 20)=P(Z > (20 - 15)/6 )= P(Z > 0,83) ■ On cherche donc: P(Z> 0,83) Utilisation de la table numérique Un extrait de la table numérique Exemple 0 0,83 z ➢La table montre une surface de 0,796 pour la région inférieure à z = 0,83. ➢La région de l’extrémité en vert correspond donc à 1-0.79673 = 0,203. ➢La probabilité d’une rupture de stock est 0,203 Si le gérant veut que la probabilité de rupture de stock ne dépasse pas 0.05, à quel niveau d’inventaire devrait-il passer une nouvelle commande? Exemple Exemple: Aire = 0,05 0 k On cherche k tel que P(Zk) ≤0,05 ❑La valeur correspondante de x est: x = + k = 15 + 1,645(6) = 24,87 □Une commande de 24,87 gallons rendra la probabilité d’une rupture de stock égale à 0,05. □ Donc, le gérant du magasin devrait passer une nouvelle commande lorsque il lui reste 25 gallons pour garder cette probabilité sous 0,05. Exemple: Exemple □Une machine fabrique des rondelles de métal dont le diamètre est distribué normalement avec une moyenne de 2,4 cm et un écart type de 0,05 cm. Des rondelles produites par cette machine, trouvons la proportion de celles dont le diamètre: i) excède 2,5 cm; ii) n’excède pas 2,32 cm; iii) est compris entre 2,35 cm et 2,46 cm. 0,0228 0,0548 0,7262 iv) Trouvons la valeur de x telle que 5 % des rondelles présentent un diamètre qui lui est supérieur. Rép. 2,48225 Théorème central-limite □La loi Normale est une « loi limite » pour toutes les lois. □Soient X1,X2,...,Xn, n variables aléatoires indépendantes et de même type de loi. Si n est assez grand, la somme Y = X1+...+Xn suit approximativement une loi normale de paramètres ■moyenne = somme des moyennes des Xi ■variance = somme des variances des Xi Exemple de loi d’une somme de v.a.i 28 Approximations □Approximation normale de la loi binomiale La loi binomiale B(n ; p) suivra à peu prés la loi normale de moyenne np et de variance np(1-p) si n>30, np> 10 et np(1-p)>10. □Approximation normale de la loi de Poisson On a P(m) = N(m ; m) si m>20 Définition : La loi de khi−carré est obtenue en faisant la somme des carrés de plusieurs lois normales centrées réduites indépendantes : La forme de la courbe de densité de probabilité change en fonction de υ Distribution de densité des lois de degrés de liberté. La loi du χ2 Propriétés □Si X suit la loi de Khi-2 à n degrés de liberté alors son espérance et sa variance sont définis par: E(X) n Var(X)2n Table de la loi de khi−carré La probabilité donnée dans la table est donc unilatérale à droite. Exemples d’utilisation de la table □Soit X une variable aléatoire qui suit la loi Khi-2 à 5 degrés de liberté, déterminer a telle que: P(X<a)=0,5%; P(0<X<a)=95%; P(-a<X<a)=97,5%; P(IXI>a)=2%. Solution: a=0.412; a=11.07; a=12.83; a=13.388 La loi de Student ou loi de t ■La distribution de Student s’apparente à la distribution de la loi Normale. Elle varie cependant avec la valeur du degré de liberté  (nu). Si est grand ( ≥30) uploads/s3/ chap-6-converti-complet.pdf