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Chapitre 3 Fractions rationnelles : Partie 2 3.1 Décomposition en éléments simp

Chapitre 3 Fractions rationnelles : Partie 2 3.1 Décomposition en éléments simples sur R La décomposition en éléments simples sur R est diﬀérente de celle sur C. On a le théorème suivant : Théorème 3.1.1 Soit F = P Q une fraction rationnelle de R(X) et soit Q = (X −α1)m1 · · · (X − αr)mrQℓ1 1 · · · Qℓs s la décomposition de Q en produit de facteurs irréductibles dans R[X]. Alors F s’écrit d’une manière unique comme somme : F = E + r X k=1 mi X i=1 ak,i (X −αk)i + s X k=1 ℓk X j=1 bk,jX + ck,j Qj k où E est la partie entière de F et les ak,i, bk,j, ck,j sont des réels. Exemple 3.1.1 Décomposons en éléments simples sur R la fraction rationnelle F = 1 X4−1. Comme deg(F) < 0 la partie entière de F est nulle. De plus X4 −1 se factorise dans R[X] comme suit X4 −1 = (X −1)(X + 1)(X2 + 1). Alors la décomposition théorique de F est F = a X −1 + b X + 1 + cX + d X2 + 1. Remarquons que 1 et −1 sont des pôles simples de F. Donc on peut facilement déterminer a et b : a = 1 4, b = −1 4. On a limx→=∞xF(x) = 0 = a + b + c, donc c = 0. En ﬁn l’évaluation de F en x = 0 permet de calculer d. En eﬀet F(0) = −1 = d −a + b et par suite d = −1 2. Ainsi la décomposition en éléments simples de F sur R est 1 X4 −1 = 1 4(X −1) − 1 4(X + 1) − 1 2(X2 + 1). 3.2 Techniques de la décomposition en éléments simples Nous avons vu précédemment des méthodes de décomposition en éléments simples. Néanmoins, cer- taines techniques permettent de faciliter le travail. 1 2 CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES : PARTIE 2 3.2.1 Décomposition dans C(X) d’une fraction de R(X) Soit F une fraction rationnelle de R(X). On considère F comme un élément de C(X) et on la dé- compose en éléments simples de C(X). L’idée de base est que cette décomposition reste invariante par conjugaison. Il en résulte que si α et α sont deux pôles conjugués non réels de F, d’ordre m, les parties polaires sont respectivement : Pm k=1 ak (X−α)k et Pm k=1 ak (X−¯ α)k . Exemple 3.2.1 La fraction F = 1 X2+1 est de partie entière nulle et admet deux pôles simples i et −i. Donc les parties polaires relativement à i et −i sont respectivement a X−i et a X+i, avec a un complexe. Par simple calcul on obtient a = 1 2i. Ainsi la décomposition en éléments simples sur C de F est 1 X2 + 1 = 1 2i(X −i) − 1 2i(X + i). 3.2.2 Utilisation de la parité Si une fraction rationnelle F est paire ou impaire, on exploite cette propriété pour réduire le nombre de coeﬃcients à calculer dans la décomposition de F. En utilisant les transformations x 7→F(−x) ou x 7→−F(−x) pour avoir des relations sur les coeﬃcients. Exemple 3.2.2 Décomposons en éléments simples sur R la fraction F = 1 X6−1. Comme deg(F) < 0 la partie entière de F est nulle. De plus dans R[X] la factorisation de X6 −1 en facteurs irréductibles est X6 −1 = (X −1)(X + 1)(X2 + X + 1)(X2 −X + 1). Alors la décomposition théorique de F en éléments simples sur R est F = a X −1 + b X + 1 + cX + d X2 + X + 1 + eX + f X2 −X + 1. La parité de F montre que a = −b, c = −e et d = f. Comme 1 est un pôle simple on obtient facilement a = 1 6. En multipliant F par X2 + X + 1 et en évaluant en x = j = e 2iπ 3 on obtient cj + d = 1 2(j−1). Ceci montre que c = −1 6 et d = −1 3. Finalement : F = 1 6(X −1) − 1 6(X + 1) + −X −2 6(X2 + X + 1) + X −2 6(X2 −X + 1). 3.2.3 Passage à la limite Dans le cas où la partie entière de F est nulle le calcul de la limite limx→∞xF(x) fait apparaître des relations entre les coeﬃcients de la décomposition de F. Exemple 3.2.3 Décomposons en éléments simples sur R la fraction rationnelle F = 1 X3(X2−1). La partie entière est nulle et les pôles sont 0 (triple), 1 (simple) et −1 (simple). Alors la décomposition théorique de F est F = a X3 + b X2 + c X + d X −1 + e X + 1. L’imparité de F donne b = 0 et d = e. On détermine a en multipliant par X3 et en évaluant en x = 0. Donc a = −1. De même on trouve d en multipliant par X −1 et en évaluant en x = 1. Donc d = 1 2. Utilisons le passage à la limite de xF(x) on obtient limx→+∞xF(x) = 0 = c + 1 Donc c = −1. Ainsi la décomposition en éléments simples de F est : F = −1 X3 −1 X + 1 2(X −1) + 1 2(X + 1). 3.2. TECHNIQUES DE LA DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES 3 Exemple 3.2.4 Décomposons dans R(X) la fraction F = 1 X(X2 + 1)(X2 + X + 1)(X2 −X + 1). La décomposition théorique de F est F = a X + bX + c X2 + 1 + dX + e X2 + X + 1 + fX + g X2 −X + 1. L’imparité de F donne c = 0, e = −g et d = f. On trouve a en multipliant par X et en évaluant en x = 0. Donc a = 1. De même on détermine b en multipliant par X2 + 1 et en évaluant en x = i. Donc b = −1. On trouve d et e en multipliant par X2 + X + 1 et en évaluant en x = j = e 2iπ 3 . Donc dj + e = 1 2 et par suite d = 0 et e = 1 2. Finalement : F = 1 X − X X2 + 1 + 1 2(X2 + X + 1) − 1 2(X2 −X + 1). uploads/s3/ chapitre3-partie2.pdf