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DS n°B1 - Tle Spécialité - Décembre 2020 Devoir Surveillé n°B1 Tle Spécialité F

DS n°B1 - Tle Spécialité - Décembre 2020 Devoir Surveillé n°B1 Tle Spécialité Fonctions Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 21 points L’usage de la calculatrice est autorisé. Avertissement : tous les résultats doivent être dûment justiﬁés. La rédaction doit être à la fois précise, claire et concise. Exercice 1. Vrai ou Faux 3 points Pour l’afﬁrmation ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justiﬁer avec soin votre raisonnement. Toute réponse non justiﬁée ne rapporte aucun point. Soit g une fonction déﬁnie sur l’intervalle [0 ; 1] telle que : • la fonction g est dérivable et strictement décroissante sur [0 ; 1]; • On a : g(0) = 10 et g(1) = 0. Soit f la fonction déﬁnie sur [0 ; 1] par : f(x) = e g(x) Alors l’équation f(x) = 6 admet une unique solution sur [0 ; 1]. Afﬁrmation 1 Exercice 2. 6 points Soit Cg la courbe représentative dans un repère de la fonction g déﬁnie sur ]−∞; 4] par : g(x) = −x3 + 3x2 −1 1. Déterminer la limite de g en −∞. 2. Étudier les variations de la fonction g sur ]−∞; 4] et dresser le tableau de variations (avec les valeurs aux bornes). 3. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse 1. 4. Étudier la convexité de g et montrer que la courbe Cg présente un point d’inﬂexion. 5. Déduire des questions précédentes le signe de h déﬁnie sur ]−∞; 4] par : h(x) = g(x) −(3x −2) www.math93.com / M. Duffaud 1/2 DS n°B1 - Tle Spécialité - Décembre 2020 Exercice 3. 12 points Partie 1 7 points Soit g la fonction déﬁnie sur [0 ; +∞[ par g(x) = ex −xex + 1. 1. Montrer que pour tout réel x de [0 ; +∞[ on a : g′(x) = −x e x Étudier les variations de la fonction g sur [0 ; +∞[. 2. Déterminer la limite de g en +∞. 3. Donner le tableau de variations de g. 4. 4. a. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On note α cette solution. 4. b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α. 4. c. Recopier sur votre copie les lignes manquantes 8, 10 et 12 aﬁn que cette fonction Python renvoie un encadrement de α au centième (comme dans la question précédente) si on écrit dichotomie(a, b) dans la console, avec a et b bien choisis. Préciser les valeurs de a et b que l’on peut prendre pour appeler la fonction, c’est à dire que peut-on écrire dans la console pour obtenir un encadrement de α. 1 from math import exp 2 3 def g(x): 4 return exp(x)-x*exp(x)+1 5 6 def dichotomie(a,b): 7 while (b-a>0.01): 8 m=... 9 if g(m)*g(a)>0: 10 ... 11 else: 12 ... 13 return(a,b) 5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Partie 2 5 points Soit f la fonction déﬁnie et dérivable sur [0 ; +∞[ telle que f(x) = 4x ex + 1. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant, que vous pouvez utiliser sans justiﬁcation. 1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, f ′(x) a le même signe que g(x), où g est la fonction déﬁnie dans la partie 1. Attention, utilisez le résultat ci-contre, pas de calculs nécessaires. 2. En déduire les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[. 3. Démontrer que eα = 1 α −1. 4. En déduire que f(α) = 4(α −1). 5. En déduire un encadrement de f(α). ↫ Fin du devoir ↬ www.math93.com / M. Duffaud 2/2 uploads/Finance/ ds3-tle-fonctions-2020-2021 1 .pdf