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Epreuve de mathematiques 1 duree heures coefficient

CONCOURS SPÉCIAL T' lkre épreuve EPREUVE de MATHÉMATIQUES SEsSioN bE Durée heures - Coe ?cient L'usage des calculatricesprogrammables et alphanumériques est autorisé sous réserve des dispositions déj? nies dans la circulaire n o - du juillet II est rappelé aux candidars q u i ' l sera lenu compte de la présentation et de la rédaction des copies c On désigne par l'espace vectoriel des applications continues f c- périod qudees R dans C que l'on munit de la nonne N f H sup I f f o e t et l'on note f H hi f la norme hennitienne associée On pose en ?n pour tout f E N I f - x Z If t ldt - c c Pour tout Clément k de on note ek la fonction t Helkt On désigne par P le sous-espace vectoriel de engendre par les fonctions ek o? k décrit les Cléments de P sont les polynômes trigonométriques On note P le c sousespace vectoriel engendré par les fonctions ek o? IklS n Pour tout élément f d e et tout k E Z on note If Ck f ek le kitme coe ?cient de Fourier def et pour tout n E N on note S f la nitme somme partielle de m la série de Fourier def dé ?nie par Sn f z c k J ek k - L'objet du problème est détudm des procédés d'approximation tant du point de vue qualitanf que quantitatif des fonctions continues ou lipschmiennes par des polynômes trigonométriques Les deux dernières parties utilisent les résultats obtenus pour résoudre deux problèmes l'un de nature algébrique l'autre de nature géométrique L Exemples de polynômes trigonométriques Noyau de Dirichlet Pour tout entier naturel n on pose n D x e k k -n a Établir que pour tout n E N et tout t réel C CONCOURS SPÉCIAL T' litre épreuve b Soit n entier naturel Montrer que la fonction f f HD t - sin n l f se prolonge en une fonction t continue sur le segment O c Montrer que fn t peut s'écnre sous la forme sin n l - sin n r I - - sin l - sin n l t fn sin - - si n - et en déduire qu'il existe A réel tel que pour n E N et f x f I A Établir en ?n que pour tout entier naturel n o? un est une suite bornée c Montrer que pour tout n E N I En utilisant l'égalité K - sditn t I O t h joK Isinq tl sint dt d f c O r k x O sint df fk --- sin tdf O k l x t kx k l x en déduire que pour tout n E N -C iOx sin tl dt n l - v ? ? ? k Ic k l ou v oest une suite bornée d Prouver ?nalement que pour tout n E N o? r