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chapitre 06 : la fonction logarithme 2 avril 2013 Devoir à rendre pour le 7 jan

chapitre 06 : la fonction logarithme 2 avril 2013 Devoir à rendre pour le 7 janvier 2013 Exercice I Equation 2 points Résoudre l’équation et le système suivants : 1) ln(2x −3) + ln(x + 1) = ln(x + 9) 2) ( 2 ln x + ln y = 7 3 ln x −5 ln y = 4 Exercice II Inéquation du 3e degré 4 points Pour tout réel x, on pose : P(x) = 2x3 + 5x2 + x −2 1) a) Vériﬁer que P(−1) = 0 b) En déduire une factorisation de P(x) c) Résoudre alors l’inéquation : P(x) ⩽0 2) Utiliser les résultats précédents pour résoudre l’inéquation : 2 ln x + ln(2x + 5) ⩽ln(2 −x) Exercice III Optimisation 8 points Partie A Soit u la fonction déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par : u(x) = x2 −2 + ln x 1) Étudier les variations de u sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞. 2) a) Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞[. On note α cette solution. b) À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α. 3) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x. 4) Montrer l’égalité : ln α = 2 −α2. Partie B On considère la fonction f déﬁnie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = x2 + (2 −ln x)2 On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[. 1) Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) en fonction de u(x). 2) En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[. Partie C Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, − → ı , − →  , on note : • Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ; paul milan 1 Terminale S devoir • A le point de coordonnées (0 ; 2) ; • M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[. 1) Montrer que la distance AM est donnée par AM = p f(x). 2) Soit g la fonction déﬁnie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = p f(x. a) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ; +∞[. b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées. c) Montrer que AP = α √ 1 + α2. 3) Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P ? Exercice IV Algorithme : approximation polynomiale 4 points L’algorithme ci-contre permet d’obtenir, pour tout nombre réel x de l’intervalle [1 ;2] un encadrement de ln x d’amplitude infé- rieure ou égale à 0,001. 1) On choisit x = 1, 5. Recopier et complé- ter le tableau suivant donnant les diﬀé- rentes étapes. x t s s −t n Initialisation 0,5 3 Etape 1 0,5 0,375 0,5 0,125 3 Etape 2 0,5 Etape 3 0,5 Etape 4 0,5 0,4053 9 2) Avec une amplitude égale à 10−5, quelle valeur de n obtiendra t-on en sortie pour la valeur x = 1, 5 ? Variables x, t, s, n Initialisation Lire x n prend la valeur 3 Traitement x prend la valeur x −1 s prend la valeur x t prend la valeur x −x2 2 Tant que s −t > 0, 001 s prend la valeur t + xn n t prend la valeur s −xn+1 n + 1 n prend la valeur n + 2 Fin Tantque Sortie Aﬃcher t, s et n 3) Pour un nombre x de [1,2], on a obtenu n = 5 avec l’algorithme précédent. Donner un encadrement de ln x par deux fonctions polynômes f et g telles que f(x) ⩽ln x ⩽g(x) Exercice V Suites 2 points (un) est la suite déﬁnie par : ( u0 = e3 un+1 = e √un On note (vn) la suite déﬁnie pour tout n par : vn = ln un −2. 1) Démontrer que la suite (vn) est géométrique et préciser v0 et sa raison r. 2) En déduire vn, puis ln un, en fonction de n. 3) a) Quelle est la limte de la suite (vn) ? b) En déduire que la suite (un) converge vers e2. paul milan 2 Terminale S uploads/Geographie/ 06-devoir-07-01-2013.pdf