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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES Mémoire présenté en vue de l’obtention du Diplôme : MASTER en Mathématiques Option : Statistique Par MANSOURI Hanane Titre : Analyse en Composantes Principales (ACP) Membres du Comité d’Examen : Dr. BENELMIR Imen UMKB Encadreur Dr. BENAMEUR Sana UMKB Président Dr. DHIABI Samra UMKB Examinateur Juin 2019 Dédicace Au nom du Dieu clément et misécordieux A mon cher père Pour l’amour et l’éducation qu’il m’a donnée A ma chère mère Pour son grand amour, ses sacriﬁces et toute l’aﬀection qu’elle m’a toujours oﬀerte A mes sœurs Fouzia Chahinaz Hadjer Ahlam Narimane A mon cher frère Imade Eddine En leurs souhaitant tout le succès...tout le bonheur A mes chères amies Amani Ilham Yousra A tous les étudiants de mathématique, surtout 2´ eme master groupe de statistique et tous les étudiants de l’université Mohammed Khieder. Mansouri Hanane. i Remerciements Je tiens tout d’abord à remercier bien ALLAH le tout puissant et miséricordieux qui m’a donné la force et la patience d’accomplir ce modeste travail. Je tiens à remercier avec ma plus grande gratitude mon encadreur : Benelmir Imen pour la suivi et l’aide qu’elle m’a apporté pour l’élaboration et pour ses précieux conseils et ses aides durant toute la période du travail.de ce mémoire. Je tiens aussi remerciement à l’ensemble des enseignants de département de mathématique Je remercie les membres du jury : Benameur Sana et Dhiabi Samra Enﬁn, je tiens également à remercier toutes les personnes qui ont participé de prés ou de loin à la réalisation de ce travail. Merci à Tous. ii Table des matières Dédicace i Remerciements ii Table des matières iii Liste des ﬁgures v Liste des tableaux vi Introduction 1 1 Préliminaires 3 1.1 Données et leurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Tableau des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Individus et variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Types de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Matrice des poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.6 Standardisation du tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.7 Matrice de variance-covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.8 Matrice de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Nuage de points (individus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Ressemblance entre deux individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 iii Table des matières 1.2.2 Métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Nuage de points (variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Liaison entre deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Métrique des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Analyse en composantes principales 17 2.1 Principe de l’ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Projection des individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Eléments de l’ACP et ces propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Axes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Facteurs principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3 Composantes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 ACP sur les données centrées réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Interprétation des résultats de l’ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.1 Interprétation des individus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Interprétation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Représentation d’élément supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Représentation des individus supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.2 Représentation des variables supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . 29 Conclusion 31 Annexe A : Logiciel R 32 Annexe B : Exemple d’application 33 Annexe C : Abréviations et Notations 41 Bibliographie 43 iv Table des ﬁgures 2.1 Eboulis des valeurs propres en %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Représentation des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Représentation de nuage des individus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 v Liste des tableaux 2.1 Températures mensuelles de 15 villes de France. . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Composantes et Contribution des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Composantes et Contribution des individus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vi Introduction L ’analyse des données est un sous domaine des statistiques qui se préoccupe de la description des données conjointes. On cherche par ces méthodes à donner les liens pouvant exister entre les diﬀérents données ainsi qu’à en tirer une information statistique qui sert à décrire les principales informations contenues dans ces dernières. L’analyse en composantes principales est un grand classique de l’analyse des données qu’on note par la suite ACP ou principal component analysis (PCA) en anglai. C’est une méthode statistique multivariée proposée sous forme d’un tableau rectangulaire des données compor- tant les valeurs des uploads/Geographie/ analyse-en-composantes-principales-acp-republique-algerienne-democratique-et-populaire.pdf