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Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________

Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2012 - 1 - Laurent BAILLET / ISTerre / UFR PHITEM / UJF Grenoble Examen écrit Avril 2012 Partie Eléments finis discrets Avertissements et conseils • La présentation, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie. • Lisez attentivement le sujet avant de commencer et gérez votre temps ! • Aucune copie ou feuille ne sera prise en compte dès que l’examinateur aura quitté la salle d’examens. On se propose de résoudre le problème d’une ossature plane constituée d'une poutre encastrée-encastrée de longueur 2L et soumise en son milieu à une force extérieure. La structure est discrétisée avec deux éléments finis de type poutre p1 et p2 de géométries et de comportements identiques (figure 1.). Le nœud 2 est au milieu de la structure et appartient aux poutres p1 et p2. Une force extérieure y f  2 ( 0 2 > f ) est appliquée au nœud 2. Les nœuds 1 et 3 sont encastrés. Chaque élément poutre est de longueur L. Les poutres p1 et p2 ont comme vecteurs des inconnues nodales { } T v v q 2 2 1 1 1 θ θ = et { } T v v q 3 3 2 2 2 θ θ = . Le vecteur contenant toutes les inconnues nodales est { } T v v v q 3 3 2 2 1 1 θ θ θ = . On note z I le moment quadratique par rapport à l’axe z et S la section de la poutre. Au nœud i, i f et i m sont respectivement les efforts et les moments nodaux. Figure 1. Poutre encastrée-encastrée discrétisée avec deux éléments finis de type poutre p1=[12] ; p2=[23]. 1. Donner les expressions des matrices 1 ~ K , 2 ~ K et K intervenant dans le calcul de l’énergie de déformation P U des deux poutres q K q q K q q K q U T T T p 2 1 ~ 2 1 ~ 2 1 2 1 = + = . 2. Quelles sont les conditions aux limites (déplacements, rotations) aux nœuds 1 et 3 ? 3. Le système global à résoudre s’exprime sous la forme f q K = . Enumérer les composantes de f en fonction de i f et i m . x 1 2 3 y p1 p2 L L f2 Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2012 - 2 - Laurent BAILLET / ISTerre / UFR PHITEM / UJF Grenoble 4. Après l’introduction des conditions aux limites, montrer que le système d’équations à résoudre pour exprimer l’équilibre de l’ossature se met sous la forme       =             0 8 0 0 24 2 2 2 2 3 f v L L EI z θ (1). 5. Donner l'expression de la flèche 2 v au nœud 2 en fonction de E, Iz, f2, L. 6. Calculer l'effort f1 appliqué au nœud 1. 7. Calculer le moment m1 appliqué au nœud 1. 8. La structure est soumise à une force extérieure y f x f y x   2 2 + ( 0 , 0 2 2 > > y x f f ) (figure 2). 8.1. Donner l'expression de la flèche (déplacement suivant y) 2 v au nœud 2. 8.2. Donner l'expression du déplacement horizontal (suivant x) 2 u au nœud 2. Figure 2. Poutre encastrée-encastrée discrétisée avec deux éléments finis de type poutre p1=[12] ; p2=[23]. x 1 2 3 y p1 p2 L L       y x f f f 2 2 2 Eléments finis / L3 MK ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________ l3_el_fini_examen_2012 - 3 - Laurent BAILLET / ISTerre / UFR PHITEM / UJF Grenoble ____________________ Eléments de correction _____________________ Le comportement sous chargement d’un élément poutre [ij] de longueur l s’écrit e e e K q f = où             − − − = 2 2 2 3 4 . 6 12 2 6 4 6 12 6 12 l sym l l l l l l l EI K z e et               = j j i i e m f m f f , où z I est le moment quadratique par rapport à l’axe z, i f les efforts nodaux, i m les moments nodaux. 1. cf. examen 2009. 2. 0 3 3 1 1 = = = = θ θ v v . 3. { } 3 3 2 1 1 0 m f f m f f = 4. Immédiat. 5. z EI f L v 24 2 3 2 = . 6. En développant la première ligne du système global, on obtient f1 =-f2/2. 7. En développant la seconde ligne du système global, on obtient m1 =-Lf2/4. 8.1. z y EI f L v 24 2 3 2 = 8.2.           =                           − − + − − 0 0 0 0 2 3 2 1 f u u u L ES L ES L ES L ES L ES L ES L ES L ES ⇒ ES Lf u x 2 2 2 = AN. S=100.102 mm2; Iz=833.104mm4; E=210000 MPa; L=0.5m; N f f y x 1000 2 2 = = m v 6 - 4 3 3 2 2.977.10 0.002977mm 10 . 833 . 210000 . 24 ) 1000 ( ) 510 . 0 ( = = = ; m mm u -7 -4 2 1.19.10 1.19.10 = = . uploads/Geographie/ exam-2012-elf.pdf