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Travaux de l'Institut d'Égyptologie Cheikh Anta Diop Cahier n° I LA GÉOMÉTRIE É

Travaux de l'Institut d'Égyptologie Cheikh Anta Diop Cahier n° I LA GÉOMÉTRIE ÉGYPTIENNE Couverture: Tête d'un Égyptien de l'époque du roi Akhnaton (1372-1354 avo notre ère), en calcaire blanc, trouvée à Tell el Amarna en 1891- 1892 par H. Carter et W.M.F. Petrie. Collection: University Colle- ge London, n° 009. Théophile OBENGA La géométrie égyptienne Contribution de l'Afrique antique à la Mathématique mondiale Avec 199 figures et illustrations Éditions L'HARMATTAN 5-7, rue de l'École-Polytechnique 75005 PARIS '" KHEPERA ~ B.P. 11 -91192 GIF-SUR-YVETTE France Police de caractères hiéroglyphiques AmonFont/Khepera @ L'Harmattan, 1995 ISBN: 2-7384-2977-7 @ Khepera, 1995 ISBN: 2-909885-03-8 DÉDICACE SPÉCIALE Je dédie ce premier travail de l'Institut Africain d'Égyptologie Cheikh Anta Diop: - à Imhotep, homme d'État, architecte, grand prêtre, philosophe et scribe, astronome, médecin, créateur de la première construction monumentale en pier- re de taille dans l'histoire de l'humanité; - à Ahmes (A'h-mosè, Ahmose) qui recopia, il y a quatre mille ans, l'un des plus célèbres papyrus mathématiques de l'Égypte antique, nous transmettant ainsi l'idéal scientifique du monde pharaonique qui vante la puissance du nombre ; - à Thomas Fuller (1710-1790), un Africain Américain, arrivé aux U.S.A. en 1724 dans les dures conditions de l'époque, génie en arithmétique au xvrn' siècle; - aux mathématiciens africains contemporains, à l' œuvre dans les feuillages du savoir moderne. L'Idée ainsi franchit la matière qu'elle use sous son pas. Étoile d'une terre, le feu s'étendra. Que la lampe brûle toujours, dans le sanctuaire de la pensée. Brazzaville, juillet 1994 5 « Si haut que nous permettent de remonter les documents d'origine babylonienne ou égyptienne, qui ont été découverts de nos jours, ils nous placent dans un milieu de pleine culture, dans une ère de véritable science. » Léon Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique, Paris, P.U.F., 3eédit., 1947, p. 26 * * * « Aujourd'hui encore, de tous les peuples de la terre, le Nègre d'Afrique noire, seul, peut démontrer de façon exhaustive, l'iden- tité d'essence de sa culture avec celle de l'Égypte pharaonique, à telle enseigne que les deux cultures peuvent servir de systèmes de référence réciproques. » Cheikh Anta Diop, Antériorité des civilisations nègres: mythe ou vérité historique? Paris, Présence Africaine, 1967, p. 12 6 Sommaire Introduction . .......................................................... I. La ligne droite............................................................. La ligne droite. La mesure des segments de droite. Méthodes et instruments de mesure. II. La circonférence............................. ........................... La surface plane. La circonférence. Le cercle. Le tracé de la circonférence. III. Les angles ........................................... Un angle. Angles droits et équerre. IV. Le triangle.................................................................. Un triangle. Les droites remarquables du triangle. Le tri- angle rectangle. Parallèle à un côté d'un triangle. V. Le rectangle ................. ................ .................. ............. Un rectangle. Description. VI. Le losange. Le carré... ............... ............ ...................... Un losange. Un carré. La quadrature du cercle. VII. Le trapèze .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... Un trapèze. Le trapèze isocèle. VIII. Symétrie par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... Centre de symétrie. Axe de symétrie. 13 15 29 35 41 45 51 55 59 7 IX. Polygones réguliers..................................... Un polygone régulier. ................ X. Homothétie et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Agrandissement ou réduction d'une figure. Méthode des carreaux. XI. Les aires ..................................................................... Surface - superficie - aire. Mesure d'une surface. Unité de longueur. Unité d'aire ou de surface. Système métrique, système égyptien et système babylonien. XII. Aire du rectangle......................................................... Aire du rectangle: théorème. Démonstration géométrique. Problème n° 49 du Papyrus Rhind. Problème n° 6 du Papyrus de Moscou. Triangle rectangle. Pythagore et l'É- gypte. XIII. Aire du carré. .............................................................. Aire du carré. Volume d'un cylindre à base carrée (pro- blème n° 44 du Papyrus Rhind). XIV. Aire du triangle........................................................... Aire du triangle (problème n° 51 du Papyrus Rhind). Rai- sonnement géométrique. Xv. Aire du trapèze ... ... .......... Aire du trapèze. Le problème n° 53 du Papyrus Rhind. Aire du polygone. XVI. Aire du cercle. ............................................................. Aire du cercle en fonction du rayon. Aire du cercle en fonction du diamètre (problème n° 50 du Papyrus Rhind). Valeur égyptienne de 1t=3,1605. Valeur courante babylo- nienne de 1t=3. XVII. Comparaison de l'aire du cercle et du carré ...:............... Problème n° 48 du Papyrus Rhind. Rapports géométriques entre le cercle et le carré. Règle géométrique relative à la circonférence du cercle. 8 63 65 73 77 83 85 89 93 97 XVIII. Aire d'une suiface limitée par une courbe quelconque... 101 Méthode des carrés. Méthode des trapèzes. Calcul d'une voûte (vers 2800 avonotre ère) XIX. Trigonométrie. .. . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Trigonométrie. Mesure des angles. Mesure de l'angle de pente de la pyramide, de l'angle d'inclinaison de l'arête de la pyramide.Mesure ou calcul de la seqed qui est cet angle. Problème n° 56 du Papyrus Rhind. XX. Plan ... 107 Un plan au sens courant et au sens mathématique. Plan des tombes de Ramsès IV et Ramsès IX. Plan de sanc- tuaire. Plan d'un ensemble de cours avec silos. Plan au sens mathématique: examen d'un tesson en terre cuite (vers 1305 avonotre ère). XXI. Parallélépipède.. ... 115 Un parallélépipède. Un parallélépipède rectangle. Un cube. La chambre funéraire de Khoufou (Chéops). Rap- ports géométriques de cette chambre (J.-Ph. Lauer). Tra- dition mathématique égyptienne. Volume d'un parallélé- pipède rectangle. XXII. Ellipse .. .. .. .. .. .. . ...................................... 119 Une ellipse. Aire de l'ellipse. L'ellipse était connue et tra- cée en Égypte. Calcul de l'aire de l'ellipse. XXIII. Volume . ........................................... 123 Un volume. Mesure du volume. Mesures de capacité. Notions égyptiennes de volume. Principales mesures égyptiennes de capacité. XXIV. Pyramide 129 Le mot « pyramide» : hypothèses étymologiques. Pyra- mides dans la Vallée du Nil et dans le reste de l'Afrique noire. Définition mathématique de la pyramide. La pyra- mide régulière. Hérodote et la Grande Pyramide. Un tronc de pyramide. Volume d'une pyramide. Volume d'un tronc 9 de pyramide (problème n° 14 du Papyrus de Moscou: texte, traduction). Trigonométrie. Calcul de l'angle d'in- clinaison de la pyramide (problèmes du Papyrus Rhind). La Grande Pyramide et le Nombre d'Or. Thalès et la mesure de la hauteur de la pyramide en Égypte: témoi- gnages de Diogène Laërce, Plutarque et Pline l'Ancien. Le procédé de Thalès était connu avant lui en Égypte. XXv. Cône................................................. ................ Pyramide et cône. Épannelage du cône. Calcul de la pente d'un cône (problème n° 60 du Papyrus Rhind). Cône en Égypte et dans le reste de l'Afrique ll(~ire. XXVI. Obélisque ... ... L'obélisque: le mot et la chose. Pyramide et obélisque. Problème du Papyrus Anastasi I. Obélisque et culture afri- caine. Géométrie de l'obélisque et système du monde: Égyptiens et Dogon. XXVII. Rampe... . ........... .................... ............ Une rampe. Formes de rampes supposées par les égypto- logues. Traces archéologiques de rampe. Problème du Papyrus Anastasi I. Existence de l'échelle à roues. XXVIII. Cylindre. .............. Un cylindre. Grenier et cylindre: les mots en égyptien. Greniers africains. Calcul du volume du cylindre (problè- me n° 41 du Papyrus Rhind). Géométrie et architecture : taille d'un fût de colonne cylindrique. XXIX. Volume du parallélépipède rectangle.... Le volume d'un parallélépipède rectangle (problème n° 44 du Papyrus Rhind). Volume du cube. XXX. Transformation de la coudée en khar ......................... Coudées carrées et volume. Problème du Papyrus de Kahun (K IV, 3 col. 13 et 14). Ingéniosité de l'esprit mathématique du scribe égyptien. 10 157 165 177 183 195 199 XXXI. Volume d'un tronc de cône 201 Un cône circulaire droit. Un tronc de cône circulaire droit. La clepsydre ou horloge à eau: une invention égyptienne. La clepsydre est géométriquement un tronc de cône. Cal- cul du volume d'un tronc de cône: Papyrus d'Oxyrhyn- chos qui recopie les données du Nouvel Empire. Volume de tout récipient tronconique. Calcul de la vitesse de l'eau s'écoulant d'une clepsydre (L. Borchardt). XXXII. Surface d'une demi-sphère ........... .............. 207 Une sphère. Une demi-sphère. Aire d'une sphère. Aire d'une demi-sphère. La notion de « sphère» : le mot et la chose en Égypte. Section plane d'une sphère: le mot égyptien. Calcul de la surface d'une demi-sphère (problè- me n° 10 du Papyrus de Moscou). XXXIII. Quadrature du cercle: Archimède et l'Égypte. ............. Quadrature du cercle. Programme d'Archimède. Biblio- thèque d'Alexandrie. Quadrature du cercle en Égypte (problème n° 48 du Papyrus Rhind). Quadrature du cercle par Archimède. 217 XXXIV. Cônes, sphères, cylindres: Archimède et uploads/Geographie/ la-geometrie-egyptienne-contribution-de-lafrique-antique-a-la-mathematique-mondiale-theophile-obenga.pdf