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Mécanique des milieux continus Tome I Concepts généraux Jean Salençon • L E S É

Mécanique des milieux continus Tome I Concepts généraux Jean Salençon • L E S É D I T I O N S D E L ' É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine univer- sitaire, le développement massif du «photocopillage». Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nou- velles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi que le recel, sont passibles de poursuites. Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70. © Éditions de l’École Polytechnique - Septembre 2007 91128 Palaiseau Cedex Du même auteur Théorie de la plasticité pour les applications à la mécanique des sols © Eyrolles - 1974 - 178 pages Application of the theory of plasticity in soil mechanics © John Wiley and Sons Ltd - 1977 - 158 pages - ISBN 0-47174984-2 Viscoélasticité - © Presses de l’École nationale des ponts et chaussées 1983 - 92 pages - ISBN 2-85978-051-3 Calcul à la rupture et analyse limite - © Presses de l’École nationale des ponts et chaussées 1983 - 366 pages - ISBN 2-85978-059-9 Élastoplasticité - (B. Halphen et J. Salençon) © Presses de l’École nationale des ponts et chaussées - 1987 - 448 pages - ISBN 2-85978-094-7 Mécanique des milieux continus - © Ellipses - 1988 Tome 1 - Concepts généraux - 270 pages - ISBN 2-7298-8854-3 Tome 2 - Élasticité - Milieux curvilignes - 316 pages - ISBN 2-7298-8863-2 Mécanique du continu - © Ellipses - 1995 Tome 1 - Concepts généraux - 352 pages - ISBN 2-7298-4551-8 Tome 2 - Thermoélasticité - 286 pages - ISBN 2-7298-4565-8 Tome 3 - Milieux curvilignes - 192 pages - ISBN 2-7298-5527-0 Mécanique des milieux continus © Éditions de l’École Polytechnique - 2005 Tome 1 - Concepts généraux - 360 pages - ISBN 2-7302-1245-0 Mécanique des milieux continus © Éditions de l’École Polytechnique - 2002 Tome 2 - Thermoélasticité - 316 pages - ISBN 2-7302-0961-1 Tome 3 - Milieux curvilignes - 152 pages - ISBN 2-7302-0962-X Handbook of Continuum Mechanics © Springer - 2001 804 pages - ISBN 3-540-41443-6 de l’Élasto-plasticité au Calcul à la rupture © Éditions de l’École Polytechnique - 2002 262 pages - ISBN 2-7302-0915-8 ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Mécanique des milieux continus Tome I. Concepts généraux Avant-propos Chapitre I. Le milieu continu : une modélisation Chapitre II. Étude des déformations du milieu continu Chapitre III. Cinématique du milieu continu Chapitre IV. Les puissances virtuelles et la modélisation des eﬀorts Chapitre V. Modélisation des eﬀorts pour le milieu continu Chapitre VI. Étude des contraintes Annexe I. Éléments de calcul tensoriel Annexe II. Opérateurs diﬀérentiels : formules essentielles Bibliographie Index alphabétique Tome II. Thermoélasticité Chapitre VII. Le comportement thermoélastique Chapitre VIII. Évolutions et équilibres thermoélastiques Chapitre IX. Quelques thèmes classiques en élasticité tridimensionnelle Chapitre X. Approches variationnelles en thermoélasticité linéarisée Annexe III. Éléments d’élasticité plane Bibliographie Index alphabétique Tome III. Milieux curvilignes Chapitre XI. Statique des milieux curvilignes Chapitre XII. Structures curvilignes thermoélastiques Glossaire Bibliographie Index alphabétique ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Avant-propos L’échelle à laquelle se place le « mécanicien » est, en général, qualiﬁée de ma- croscopique. Guidé par des applications qui descendent peu en dessous de l’échelle humaine, il a en eﬀet recours à des modélisations qui, pour être pertinentes, sont construites à une échelle suﬃsamment proche de celle des applications concernées et donc supérieure souvent de plusieurs ordres de grandeur, à celle que l’on serait tenté d’attribuer au physicien. C’est aussi en référence à ces applications que le mécanicien, conscient des limites des modèles qu’il conçoit, si élégants soient-ils dans leur formu- lation mathématique, procède à leur validation expérimentale. Ceci n’est pas exclusif d’un intérêt constant manifesté par le mécanicien pour la connaissance intime des phénomènes qu’il modélise : recherche à laquelle se livre le physicien et qui permet par exemple d’expliquer divers aspects des comportements des matériaux. On propose ici une présentation des concepts généraux de la mécanique des milieux continus, de la théorie de la thermoélasticité et des milieux curvilignes. Le mode d’exposé est caracterisé par le choix de la Méthode des puissances vir- tuelles pour la construction des modèles mécaniques et la modélisation des eﬀorts. On peut reconnaître parmi les avantages de cette méthode le fait qu’elle met bien en évidence le rôle premier joué par la modélisation géométrique, qu’elle permet des pré- sentations mécaniquement cohérentes, qu’elle a un caractère systématique, et que, en obligeant à une pensée rigoureuse et à l’explicitation des hypothèses, elle fait, malgré une apparence axiomatique, ressortir la part de l’induction et la nécessité de la vali- dation. De plus, bien acquise, elle constitue pour le lecteur un outil fécond, utilisable pour ses recherches personnelles ultérieures. L’esprit de dualisation ainsi implanté est mis en œuvre dans le chapitre consacré aux méthodes variationnelles de résolution en thermoélasticité. L’étude des milieux curvilignes illustre le caractère systématique de la méthode des puissances virtuelles sur un cas où l’introduction d’une microstruc- ture dont on suit l’orientation se révèle nécessaire pour aboutir à une modélisation pertinente. Cette approche par les puissances virtuelles, qui structure la démarche suivie, ne vise en aucune façon au dogmatisme. C’est ainsi par exemple qu’en ce qui concerne la modélisation des eﬀorts les présentations « classiques » ne sont pas occultées par la méthode des puissances virtuelles, pas plus qu’ailleurs on n’a sacriﬁé l’exposé des méthodes de résolution directes des problèmes de thermoélasticité au proﬁt des ap- proches variationnelles malgré l’évidente prééminence actuelle de celles-ci. Enﬁn, la 5 ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE 6 présentation uniﬁée atteinte à travers la méthode des puissances virtuelles pour la modélisation des eﬀorts intérieurs ne doit pas faire oublier, du point de vue physique, la variété des phénomènes d’interaction sous-jacents. On a cherché, par la présentation matérielle du document, à faciliter autant que possible la tâche du lecteur. Une liste des mots-clés, un bref résumé synthétique et le tableau des principales notations nouvelles précèdent chaque chapitre ; celui-ci se termine par un récapitulatif des formules essentielles et par des exercices proposés, dont le niveau de diﬃculté est variable, et pour lesquels des éléments de réponse plus ou moins détaillés sont fournis. La typographie, par une hiérarchie des corps de carac- tères, vise à distinguer deux niveaux de lecture : une première lecture laissera de côté les parties en petits caractères, destinées à l’approfondissement. Enﬁn, le plus souvent, on s’est attaché à présenter un cas particulier ou des résultats expérimentaux avant l’exposé d’une théorie ou d’une modélisation générale. Remerciements aux collègues enseignants et anciens collègues du département de mécanique à l’École polytechnique, en particulier à Michel Amestoy, Jean-Michel Delbecq et Pierre Suquet pour leurs avis, suggestions ou conseils ; au personnel de l’imprimerie et du service audiovisuel de l’École polytechnique pour son dévouement et sa compétence ; aux organismes cités qui ont contribué à l’illustration. ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE POLYTECHNIQUE Sommaire I Le milieu continu : une modélisation 9 1 Échelle, modélisation, validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Les concepts et leur formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II Étude des déformations du milieu continu 39 1 Transport, transformation, déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 Transport convectif en transformation homogène . . . . . . . . . uploads/Geographie/ mecanique-des-milieux-continus-tome-i.pdf