République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Centre Universitaire Belhadj Bouchaib d'Aïn-Témouchent Institut des Sciences Département des Mathématiques et de l'Informatique Mémoire Pour l'obtention du Diplôme de Master en Mathématique Option : Equations diérentielles et modélisation Présenté par : Mlle. Rahmouna Mecene Equations différentielles à retard dépendant de l'état Soutenu le 06 juin 2018 Devant le jury composé de : Président : Mr. Ahmed HAMMOUDI (Professeur) C.U.B.B.A.T Examinatrice : Mme. Lamia BENDIMERED (M.A.A) C.U.B.B.A.T. Encadrant : Mme. Djamila BENNAFLA (M.C.B) C.U.B.B.A.T. Remerciements Mes grands remerciements vont à mon dieu qui m'a donné la volonté, la patience et surtout la santé durant toute mes années d'études. Je remercie vivement les membres du jury,dont le professeur Ahmed HAMMOUDI de pré- sider le jury et Madame Lamia BENDIMERED d'avoir examiner mon modeste travail. J'exprime ma profonde gratitude à mon encadreur Mme. Djamila BENNAFLA, pour son soutien et je la remercie encore pour son suivi,ces remarques et suggestions qui à enrichi ce mémoire. Mes remerciements aussi sincères que profonds s'adressent à tous mes enseignants de dé- partement Mathématique et Informatique qui m'ont former tout au long de mon cursus univer- sitaire. Je tiens à remercier très chaleureusement, le chef du département, Madame Djamila BOUHALOUAN, pour sa disponibilité et ses services permanents. Je remercie profondément, ma mère, pour son soutien quotidien et infaillible. Merci à sa prière,son enthousiasme débordant, qui a été pour moi un pilier fondateur de mon action, sans elle je n'aurais jamais pu réaliser ce travail. Je tiens aussi à exprimer ma profonde sympathie à tous mes amis, avec qui j'ai passé d'agréables moments.Je remercie particulièrement, Ibtissem et Ilhem pour leurs encouragements et leur soutien pour réaliser ce mémoire. Je tiens en n à remercier, tous ceux qui ont contribué d'une façon ou d'une autre à la réalisation de ce mémoire. 1 Dédicaces Avec tout l'amour sur terre et chaque sou e d'air dans le ciel, j'ore tout ce qui est dans mon c÷ur, à ma mère bien-aimée. Je prie Dieu de te guérir. Je dédie ce mémoire à mes parents, à mes chers frères Said et Mohamed,à mes neveux Abd Kader et Abd Sa- mad et à mes nièces : Meriem , Rawda et Zahra. A toute ma famille, à tous mes amis. ♥ 2 Table des matières Introduction 1 1 Généralités 7 1.1 Équations diérentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Dé nition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Existence et unicité de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Stabilité au sens de Lyaponov de solution . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Équations diérentielles à retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Dé nition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Stabilité des systèmes à retard par la deuxième méthode de lyaponov . . 12 2 Équation diérentielles à retard constant 15 2.1 Équations diérentielles à retard constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Existence,unicité et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Stabilité et oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 La résolution d'équations à retard constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 Résolution par méthode pas à pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Méthode de Belman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.3 Méthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Équations diérentielles à retard dépendant de l'état 25 3.1 Équations diérentielles à retard dépendant de l'état . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Conclusion 42 Bibliographie 42 3 Notations R+ : Ensemble des nombres réels positifs ou nul Rn : Espace vectoriel de dimension n construit sur le corps des réels [a, b] : Intervalle fermé de R d'extrémité a et b C+∞: Ensemble des fonctions in niment dérivables C = C([−τ, 0], R) : Ensemble des fonctions continues de [−τ, 0] dans Rn |.| : La valeur absolue d'un nombre réel ||.||C : La norme sur C dé nie par ∀ϕ ∈C : ||ϕ||C = sup ||ϕ(t)|| [−τ,0] K : Ensemble des fonctions continues de [0, a] à valeurs réels,avec a nombre positif K∞: Ensemble des fonctions continues de classe K tendant vers l'in ni y′ = dy dt : La dérivée première qui représente la vitesse du système y′′ = d2y dt2 : La dérivée seconde de la solution y yt ∈C : Fonction dé nie par yt(θ) = y(t + θ),∀θ ∈[−τ, 0] τ(t) : Le retard temporel variable lim sup : Limite supérieure qui présente le grand avantage d'exister dans tout les cas Tr : La trace d'une matrice. det(J∗) : Déterminent d'une matrice. D+V (t, ϕ) = lim ε− →0+ sup V (t + ε, ϕ + ε) ε : S'appelle dérivée de Dini. 4 Introduction Les équations diérentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Une théorie classique dans la modélisation mathématique d'une transformation physique est de supposer que le comportement futur du système peut être résumé, dans le cadre déterministe, par son seul état présent, sans dépendre de son évolution antérieure. Cette supposition conduit à une modélisation sous forme de système d'équations diérentielles ordinaires. Mais il existe de nombreux cas où cette théorie est mise en imperfection, et il est alors nécessaire de prendre en compte d'autres phénomènes, ce qui entraîne alors pour l'analyse du système un surcroît de complexité. L'une de ces causes est le phénomène de retard ou d'hérédité qui caractérise l'in uence que l'état passé d'un processus exerce sur son comportement au moment actuel. Ainsi, les systèmes imposés présentant des retards non négligeables ne peuvent plus être formulés mathématique- ment sous forme de systèmes diérentiels ordinaires, mais ils sont décrits par des équations héréditaires dont la dimension théorique devient in nie. Le plus simple de ces modèles corres- pond aux systèmes d'équations diérentielles à retards (que l'on appellera par la suite équations à retards). Les équations diérentielles à retard surviennent dans la formalisation de nombreux phéno- mènes dynamiques où certains eets ne sont pas instantanés, mais interviennent avec retard, autrement dit lorsque l'état à un instant donné est une fonction de son passé. uploads/Geographie/ memoire-de-master-mathematique.pdf

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