Chapitre 2 ´ Ecoulements potentiels O. Thual, 26 juin 2010 Sommaire 1 Perte de

Chapitre 2 ´ Ecoulements potentiels O. Thual, 26 juin 2010 Sommaire 1 Perte de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 ´ Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Charge moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Loi de Darcy 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 Loi de Darcy 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 ´ Ecoulements confin´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 ´ Ecoulements non confin´ es . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 ´ Ecoulements souterrains . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Puits art´ esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Approximation de Dupuit . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Applications et limitations . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 2 Chapitre 2. ´ Ecoulements potentiels Introduction Le sous-sol est constitu´ e d’un m´ elange de terre et de graviers ` a travers lequel l’eau s’infiltre et circule. Cette circulation est ici mod´ elis´ ee par des ´ ecoulements potentiels en milieu poreux. Ces ´ ecoulements, dont le champ de vitesse est le gradient d’un potentiel, se rencontrent en m´ ecanique des fluides lorsque la vor- ticit´ e (rotationnel de la vitesse) peut ˆ etre n´ eglig´ ee. C’est le cas des ´ ecoulements souterrains lents aux ´ echelles grandes devant la taille des graviers. Fig. 2.1 – Nappe phr´ eatique en contact avec une rivi` ere ou un lac. Photo NASA GSFC. Les notions de base de l’hydraulique souterraine sont pr´ esent´ ees dans ce cha- pitre ` a l’aide d’exemples simples repr´ esentatifs de probl` emes souterrains plus complexes. Seuls les ´ ecoulements lents, c’est-` a-dire ` a faibles nombres de Rey- nolds, dans des milieux poreux isotropes et homog` enes sont consid´ er´ es. La charge hydraulique des milieux poreux est pr´ esent´ ee avec l’´ equation de Perte de charge 3 Bernoulli d´ eduite des ´ equations de Navier-Stokes laminaires. Comme la vi- tesse des ´ ecoulements est petite, la charge hydraulique est approxim´ ee par la hauteur pi´ ezom´ etrique. La loi de Darcy, qui postule une relation lin´ eaire entre le d´ ebit et la perte de charge, est pr´ esent´ ee sur l’exemple simple d’un aquif` ere confin´ e coulant dans une seule direction. La g´ en´ eralisation de la loi de Darcy aux ´ ecoulements tri-dimensionnels dans des milieux poreux montre que la charge peut ˆ etre vue comme le potentiel du champ de vitesse d´ ebitante. En appliquant la conservation de la masse, on montre que la perte de charge satisfait l’´ equation de Laplace. La compr´ ehension de la nature des conditions aux limites utilis´ ees pour r´ esoudre cette ´ equation de Laplace est l’un des points cl´ es de ce chapitre. Plusieurs exemples sont pr´ esent´ es. 1 Perte de charge La loi de Darcy unidimensionnelle est pr´ esent´ ee ici. Elle ´ enonce que la vitesse d´ ebitante d’un ´ ecoulement dans un milieu poreux est proportionnelle ` a la perte de charge lin´ eique. 1.1 ´ Equation de Bernoulli Nous prenons comme point de d´ epart les ´ equations de Navier-Stokes incom- pressibles div U = 0 , ∂U ∂t + U · grad U = F −1 ρ grad p + ν ∆U , (2.1) o` u les forces de volumes F = −g ez = −grad (g z) sont dues ` a la gravit´ e. Consid´ erons une ligne de courant L allant d’un point M1 ` a un point M2. En utilisant la relation U · grad U = 1 2 grad U2 + rot U ∧U (2.2) et la relation (rot U ∧U) · dM = rot U · (U ∧dM) = 0, on peut d´ eriver “l’´ equation de Bernoulli” Z L grad H · dM = 1 g Z L  −∂U ∂t + ν ∆U  · dM , (2.3) 4 Chapitre 2. ´ Ecoulements potentiels L M2 M1 U dM Fig. 2.2 – Ligne de courant L d’un ´ ecoulement laminaire. o` u H est la “charge hydraulique” d´ efinie par la relation H = p ρ g + z + 1 2 gU2 . (2.4) En int´ egrant le membre de gauche de l’´ equation de Bernoulli (2.3), on obtient H(M2) = H(M1) − Z L 1 g ∂U ∂t + J  · dM , J = 1 g (−ν ∆U) . (2.5) Le terme J est la perte de charge lin´ eique due aux frottements visqueux. Dans ce chapitre, nous consid` erons uniquement des ´ ecoulements tels que le terme d’acc´ el´ eration ∂ ∂tU + U · grad U est n´ egligeable devant le terme des forces visqueuses ν ∆U (´ ecoulements ` a faibles nombres de Reynolds). C’est le cas des ´ ecoulements souterrains en milieu poreux. Pour de tels ´ ecoulements, on peut ´ ecrire H ∼p ρ g + z , H(M2) −H(M1) ∼− Z L J · dM . (2.6) 1.2 Charge moyenne Les particules fluides d’un ´ ecoulement souterrain dans un milieu poreux suivent des trajectoires complexes entre des graviers. Consid´ erons une fa- mille de trajectoires formant un tube de section A(s) autour de la trajectoire moyenne L param´ etris´ ee par sa coordonn´ ee curviligne s (figure 2.3). Puisque le milieu est “poreux”, le fluide ne traverse qu’une section A′(s) plus petite que A(s). Si A′(s) et A(s) sont, respectivement, les aires de ces deux sections, on note m = A′/A ≤1 la “porosit´ e” du milieu. Perte de charge 5 U L s es A′(s) < A(s) A′(s) ⊂A(s) Fig. 2.3 – Tube de trajectoires dans un milieu poreux. On note Q(s) le d´ ebit volumique dans la direction es, o` u es est le vecteur unitaire tangent ` a la trajectoire L et on le d´ efinit par Q(s) = ZZ A′ U · es dS . (2.7) La vitesse d´ ebitante U est alors d´ efinie par la relation U(s) = Q(s) A(s) = 1 A(s) ZZ A′ U · es dS . (2.8) On remarque que la vitesse r´ eelle du fluide est, en moyenne, plus grande que cette vitesse d´ ebitante puisque A′(s) < A(s). La charge hydraulique moyenne de la section A(s) est d´ efinie par H(s) ∼1 A′ ZZ A′  p ρ g + z  dS = P∗(s) ρ g = h∗, (2.9) o` u P∗(s) est la “pression pi´ ezom´ etrique” et h∗(s) la “hauteur pi´ ezom´ etrique”. Cette hauteur pi´ ezom´ etrique est l’altitude qu’atteindrait l’eau dans un puits ouvert ` a la pression atmosph´ erique, relativement ` a un plan situ´ e ` a une distance pa/(ρg) en-dessous du z´ ero g´ eographique z = 0 (arbitraire) (voir figure 2.4). Dans certains ouvrages traitant de l’hydraulique, une jauge est choisie sur la pression de mani` ere ` a avoir pa = 0. Nous ne faisons pas ce choix dans cette pr´ esentation. 6 Chapitre 2. ´ Ecoulements potentiels imperm´ eable imperm´ eable 0 z p −pa ρ g h∗= z + p ρg pa/(ρ g) z aquif` ere lac lac Fig. 2.4 – Hauteur pi´ ezom´ etrique h∗= p ρ g + z dans un aquif` ere. On d´ efinit la “perte de charge lin´ eique moyenne” J par la relation J(s) = 1 A′ ZZ A′ J · es dS , (2.10) qui v´ erifie donc, pour un ´ ecoulement stationnaire, la relation dH ds (s) = −J(s) . (2.11) 1.3 Loi de Darcy 1D On consid` ere un ´ ecoulement lent quasi-1D obtenu en suivant un tube de tra- jectoires dans un milieu poreux. Si la section de ce tube est grande devant la taille des graviers ou fissures du milieu poreux, on peut, ` a partir d’observations exp´ erimentales, mod´ eliser la perte de charge de cet ´ ecoulement par la loi de Darcy unidimensionnelle qui s’´ ecrit J(s) = U(s) Kp(s) = ⇒ U(s) = −Kp(s) dH ds (s) , (2.12) o` u uploads/Geographie/ percolation-du-cafe-exercice.pdf

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