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HAL Id: tel-00629802 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00629802 Submitted on 6 Oct 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Étude mathématique de Trous Noirs et de leurs données initiales en Relativité Générale Julien Cortier To cite this version: Julien Cortier. Étude mathématique de Trous Noirs et de leurs données initiales en Relativité Générale. Mathématiques [math]. Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2011. Français. tel-00629802 UNIVERSITÉ MONTPELLIER II SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier THÈSE pour obtenir le grade de Docteur de l’Université Montpellier II Discipline : Mathématiques École Doctorale : Information, Structures et Systèmes présentée et soutenue publiquement par Julien CORTIER le 6 septembre 2011 Étude mathématique de Trous Noirs et de leurs données initiales en Relativité Générale Jury : M. Philippe Castillon Maître de conférences à l’Univ. Montpellier 2 Examinateur M. Piotr T. Chruściel Professeur à l’Univ. de Vienne Directeur de thèse M. Erwann Delay Maître de conférences à l’Univ. d’Avignon Examinateur M. Marc Herzlich Professeur à l’Univ. Montpellier 2 Directeur de thèse M. James Isenberg Professeur à l’Univ. de l’Oregon Rapporteur M. Harvey Reall Professeur à l’Univ. de Cambridge Rapporteur M. Abdelghani Zeghib Directeur de recherche CNRS à l’ENS Lyon Président ii Étude mathématique de Trous Noirs et de leurs données initiales en Relativité Générale Résumé : L’objet de cette thèse est l’étude mathématique de familles d’espaces-temps satisfai- sant aux équations d’Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d’Emparan-Reall et de Pomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu’ils contiennent un trou noir, dont l’horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique, et prouvons que cette extension est maximale, et unique dans une certaine classe d’extensions pour les espaces-temps d’Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l’ergosurface des espaces-temps de Pomeransky- Senkov. La deuxième partie est consacrée à l’étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d’Einstein. Nous eﬀectuons un recollement d’une classe de données initiales avec des données initiales d’espaces-temps de Kerr-Kottler-de Sitter, en uti- lisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d’autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l’ex- ception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire. Mots clés : Géométrie Lorentzienne, géométrie riemannienne, espaces-temps, extensions analytiques, données initiales, équations des contraintes, vecteur de moment-énergie. Mathematical study of Black Hole spacetimes and of their initial data in General Relativity Summary: The aim of this thesis is the mathematical study of families of spacetimes satisfying the Einstein’s equations of General Relativity. Two methods are used in this context. The ﬁrst part, consisting of the ﬁrst three chapters of this work, investigates the geometric properties of the Emparan-Reall and Pomeransky-Senkov families of 5-dimensional spacetimes. We show that they contain a black-hole region, whose event horizon has non-spherical compact cross sections. We construct an analytic extension, and show its maximality and its uniqueness within a natu- ral class in the Emparan-Reall case. We further establish the Carter-Penrose diagram for these extensions, and analyse the structure of the ergosurface of the Pomeransky-Senkov spacetimes. The second part focuses on the study of initial data, solutions of the constraint equations in- duced by the Einstein’s equations. We perform a gluing construction between a given family of inital data sets and initial data of Kerr-Kottler-de Sitter spacetimes, using Corvino’s method. On the other hand, we construct 3-dimensional asymptotically hyperbolic metrics which satisfy all the assumptions of the positive mass theorem but the completeness, and which display an energy-momentum vector of arbitry causal type. Keywords: Lorentzian geometry, Riemannian geometry, spacetimes, analytic extensions, initial data, constraint equations, energy-momentum vector. Discipline : Mathématiques et Applications Laboratoire : Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier CNRS UMR 5149 – Case Courrier 051 – Université Montpellier 2 Place Eugène Bataillon – 34095 Montpellier Cedex 5. Remerciements Les trois années qui viennent de s’écouler vont rester gravées longtemps en moi, certes en bonne partie pour leur fort contenu scientiﬁque. Pour plus de détails à ce sujet, je renvoie le lecteur aux 160–et–quelques pages qui suivent. Ces lignes, en revanche, sont dédiées aux personnes qui ont marqué cette période de près ou de loin. Je ne peux mal- heureusement pas toutes les citer, mais je ne les oublie pas, et c’est aussi grâce à elles que j’ai pu traverser l’étendue de ces trois années de thèse ! C’est un plaisir de commencer ces remerciements en nommant mes deux directeurs de thèse, Piotr Chruściel et Marc Herzlich. Ils m’ont chacun, à leur manière, fait rentrer dans le monde de la Recherche. Je suis particulièrement reconnaissant à Piotr de m’avoir ouvert les portes de la grande famille des mathématiciens relativistes, à l’occasion de nombreuses invitations à des conférences (en Suède, en Allemagne, en Écosse...), et d’avoir facilité mes séjours à Oxford au Mathematical Institute. Il a su me pousser et m’encourager dans mon travail, en me faisant prendre part à des collaborations fructueuses. Marc s’est quant à lui chargé de mon suivi lors de mon retour à Montpellier. Il m’a proposé de nombreuses et passionnantes nouvelles pistes de travail en géométrie et en analyse géométrique. Les échanges que j’ai pu avoir avec Marc vont certainement me donner matière à réﬂexion sur de nouvelles questions de mathématiques pour longtemps, et j’espère encore avoir de nombreuses occasions d’en discuter avec lui. S’il y a bien une chose qui caractérise Marc et Piotr, c’est de ne pas compter leurs heures de travail, et ils ont su se montrer d’une grande disponibilité malgré un emploi du temps déjà bien chargé. La qualité de la rédaction et les idées présentes dans ce travail leur doivent beaucoup, et je mesure la chance que j’ai eue d’évoluer sous leurs yeux avisés. Je suis reconnaissant à James Isenberg et à Harvey Reall d’avoir accepté d’être les rapporteurs de cette thèse. En plus des pages de calculs, ils ont été confrontés à la diﬃculté de devoir lire certaines parties en français. Je les en remercie. Je suis très heureux de compter Philippe Castillon, Erwann Delay et Abdelghani Ze- ghib parmi les membres de mon jury et les remercie de leur intérêt pour mon travail. J’ai pu tirer parti de l’expertise de Philippe lors de discussions sur des problèmes de surfaces minimales, que cela soit dans un bureau du bâtiment 9 à Montpellier, ou à bord d’un 747 entre Rio et Paris ! Erwann, en tant que spécialiste des équations des Contraintes et de problèmes de recollement, m’a permis de progresser sur ces questions , ce qui a conduit à la rédaction de la deuxième partie de cette thèse. Enﬁn, j’ai eu la chance de connaître Ghani à l’ENS Lyon en suivant son cours de M2 sur la géométrie lorentzienne et les équations d’Einstein, en 2008. v vi Cette thèse porte aussi les marques précieuses d’autres personnes non-présentes dans le jury. Je pense en premier lieu à Jacques Lafontaine. Je le remercie pour l’intérêt constant qu’il a manifesté pour mon travail durant ces trois années, pour avoir partagé son regard perçant de géomètre et les anecdotes historiques sur des mathématicien(ne)s, et pour m’avoir débloqué à plusieurs reprises de certaines des plus naïves de mes interrogations. À Oxford, j’ai eu le bonheur de rencontrer Sir Roger Penrose, qui m’a oﬀert un exem- plaire de son livre The road to reality. Je le remercie chaleureusement. Ma thèse s’étant déroulée la plupart du temps à Montpellier ou à Oxford, je remercie les enseignant-chercheurs et les membres du personnel administratif de l’I3M et du Mathe- matical Institute qui ont facilité les nombreuses démarches nécessaires au bon déroulement de mon travail de recherche et d’enseignement. Lors de mes déplacements en conférence, j’ai pu bénéﬁcier des connaissances et des conseils de la part de nombreuses personnes. J’ai eu ainsi d’enrichissantes discussions avec Rafe Mazzeo lors de son passage à Montpellier, avec Alfonso Garcià-Parrado à l’occasion d’une collaboration, et bien d’autres que je ne peux tous citer ici. Merci également à Philippe Delanoë pour l’organisation des séminaires communs d’analyse géométrique au CIRM, à Pierre Bérard et à Fernando Codá-Marques pour l’organisation et l’invitation à une conférence à l’IMPA de Rio de Janeiro, ainsi qu’à Juan Antonio Valiente-Kroon et à Emmanuel Hebey pour m’avoir invité au séminaire de leur département respectif. Je ne sais pas s’ils liront ces lignes un jour, mais je remercie quand même mes étudiants de L1 et L2 uploads/Geographie/ trou-noir-etude.pdf