PARTIE I. VIBRATION CHAPITRE 1. Généralités sur les vibrations. 1.1 Dé…nition d

PARTIE I. VIBRATION CHAPITRE 1. Généralités sur les vibrations. 1.1 Dé…nition d’une oscillation (vibration) On appelle oscillation, un mouvement qui s’e¤ectue de part et d’autre d’une position d’équilibre. (Par vibration, on désigne les oscillations rapides des systèmes mécaniques.) Exemples k m 0 a) Masse-ressort sur un plan m b) Masse au fond d’une vallée 0 ρ ρ c) Cylindre ‡ottant dans un liquide L C d) Circuit électrique oscillant 1.2 Dé…nition d’un mouvement périodique Un mouvement est dit périodique s’il se répète identique à lui même pendant des intervalles de temps égaux. Le plus petit intervalle de répétition est appelé période (notée T , mesurée en secondes "s":) Le nombre de répétitions par seconde est appelé fréquence (notée f, mesurée en Hertz ou s1.) Elle est reliée à la période par f = 1 T: (1.1) Le nombre de tours par seconde est appelé pulsation (notée !, mesurée en rad/s.) ! = 2f = 2 T ; (1.2) Mathématiquement, la périodicité s’exprime par g(t + T) = g(t): Une grandeur périodique est dite sinusoïdale lorsqu’elle est de la forme g(t) = A sin(!t + '): A est appelée amplitude, ! : la pulsation, ' : la phase initiale. Parmi les grandeurs physiques étudiées des systèmes oscillants, on trouve:  le déplacement x:  l’angle :  la charge q:  le courant i:  la tension u:  un champ E: Exemples a) Soit la grandeur périodique g(t) représentée ci-contre. T = 2s. f = 1=T = 0; 5Hz: ! = 2f = rad=s: 1 2 3 1 − 2 − 1 ) t ( g 4 3 − ) (s t b) Soit la grandeur sinusoïdale g(t) = 2 sin(  2 t +  6 ) représentée ci-contre. ! =  2 : T = 2 =2 = 4s: f = 1=T = 0; 25Hz: ' = =6: A = 2: 2 − 3 − 1 − 4 − 1 2 3 4 1 2 3 s ) t ( g F. HAMMAD Vibrations & Ondes Chap.I http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev 1.3 La représentation complexe Pour faciliter les calculs, nous transformons les grandeurs sinusoïdales en des exponentielles qui sont plus simples à manipuler. Ceci est possible grâce à la formule d’Euler (1748) cos  + j sin  = ej (j2 = 1): (1.3) Exemples a) Soit le mouvement x(t) = x0 cos (3t + 5) : Trouver à l’aide de la représentation complexe la vitesse
x(t) et l’accélération

x(t): x(t) = x0 cos (3t + 5) ! x(t) = x0ej(3t+5):
x(t) = 3x0 cos 3t + 5 +  2

x(t) = 3jx0ej(3t+5) = 3x0ej(3t+5+  2 )

x(t) = 9x0 cos (3t + 5)

x(t) = 9x0ej(3t+5) b) Soit une résistance R et un courant i(t) = I0 cos !t: R i R u Trouver l’impédance complexe ZR = uR i . Rappel: uR = Ri: i(t) = I0 cos !t ! i(t) = I0ej!t: uR(t) = Ri(t) ! uR(t) = Ri: = ) ZR = uR i = Ri i = ) ZR = R: c) Soit un condensateur et un courant i(t) = I0 cos !t: C i C u Trouver l’impédance complexe ZC = uc i . Rappel: uc = q C = R idt C : Car i = dq dt : i(t) = I0 cos !t ! i(t) = I0ej!t: uc(t) = R i(t)dt C ! uc(t) = R i(t)dt C = R I0ej!tdt C = I0ej!t jC! = i jC!: = ) ZC = uc i = i jC!i = 1 jC! : d) Soit une bobine L et un courant i(t) = I0 cos !t: L i L u Trouver l’impédance complexe ZL = uL i . Rappel: uL = L di dt: i(t) = I0 cos !t ! i(t) = I0ej!t: u(t) = L di dt ! u(t) = L di dt = L d(I0ej!t) dt = jL!I0ej!t = jL!i: = ) ZL = uL i = jL!i i = jL!: e) Trouver l’impédance Z du circuit ci-contre: L C Comme les deux éléments sont en parallèle, on a: Z = ZLZC ZL+ZC = jL!: 1 jC! jL!+ 1 jC! = jL! 1LC!2 : 1.4 Superposition des grandeurs périodiques L’addition de deux ou plusieurs grandeurs de même nature est appelée superposition. 1.4.1 Grandeurs sinusoïdales de même pulsation La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation ! est une grandeur sinu- soïdale de pulsation !: F. HAMMAD Vibrations & Ondes Chap.I http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev Exemples a) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : g1 (t) = a cos (!t + '1) et g2 (t) = b cos (!t + '2) : Utilisons la représentation complexe pour trouver (g1 + g2) (t): g1 (t) + g2 (t) = a cos (!t + '1) + b cos (!t + '2) ! aej(!t+'1) + bej(!t+'2) = aej'1 + bej'2
ej!t = Aejej!t (g1 + g2) (t) = A cos (!t + ) = Aej(!t+): Ceci est bien une grandeur sinusoïdale de pulsation !: L’amplitude est A = aej'1 + bej'2
ej!t = p (aej'1 + bej'2) (aej'1 + bej'2) = p a2 + b2 + 2ab cos ('1 '2): La phase  est donnée par tan  = Im aej'1 + bej'2
Re (aej'1 + bej'2) = a sin '1 + b sin '2 a cos '1 + b cos '2 : Aej est appelée amplitude complexe et notée A b) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : g1 (t) = p 2 cos 3t  4
et g2 (t) = sin (3t + ) : La superposition est p 2 cos !t  4
+ sin (!t + ) ! p 2ej(!t  4 ) + ej(!t+  2 ) = ( p 2ej  4 + ej  2 )ej!t cos(!t) = 1:ej!t Donc, A = 1:  = 0: 1.4.2 Grandeurs sinusoïdales de même amplitude La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même amplitude est une grandeur si- nusoïdale à amplitude modulée si les deux pulsations sont di¤érentes. Exemple Soit les deux grandeurs sinusoïdales: g1(t) = a cos !1t , g2(t) = a cos !2t: La superposition est: g1(t) + g2(t) = a cos !1t + a cos !2t = 2acos !1 !2 2 t  | {z } Amplitude modulée (variable) cos !1 + !2 2 t  " Pulsation résultante : Remarque: Lorsque !1  !2 : !1 !2 2 est très faible, alors 2acos(!1 !2 2 t) constitue une enveloppe à la composante plus rapide cos(!1 + !2 2 t): C’est le phénomène de battement. 1.4.3 Grandeurs sinusoïdales quelconques La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de pulsations di¤érentes !1 et !2 ne sera une grandeur périodique que si le rapport entre leur périodes est un nombre rationnel: T1=T2 = n=m. La période résultante est le plus petit multiple commun: T = mT1 = nT2: Exemples a) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : g1(t) = 5 cos(5t + 2); g2(t) = 2 cos(7t + 3): Leur superposition est 5 cos(5t + 2) + 2 cos(7t + 3): Comme T1 T2 = 2=5 2=7 = 7 5 = n m est un nombre rationnel (n = 7; m = 5); la superposition est une grandeur périodique de période T = m  2 5 = n  2 7 = 2s: b) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : g1(t) = 5 cos(5t + 2); g2(t) = 2 cos(7t + 3): Leur superposition est 5 cos(5t + 2) + 2 cos(7t + 3): Comme T1 T2 = 2=5 2=7 = 7 5 n’est pas rationnel, la superposition n’est pas périodique. F. HAMMAD Vibrations & Ondes Chap.I http://exerev.yolasite.com - http://sites.google.com/site/exerev 1.5 Dé…nition des séries de Fourier Il est possible d’exprimer une grandeur périodique par une somme de sinus et de cosinus qui sont plus simples à manipuler physiquement et mathématiquement. Cette somme est ap- pelée série de Fourier (1807). La série de Fourier d’une fonction f (t) périodique de période T; est dé…nie par: f (t) = a0 + 1 X n=1 an cos (n!t) + 1 X n=1 bn sin (n!t). (1.4)  Le a0; les an; et les bn sont appelés les coe¢cients de Fourier.  La pulsation ! = 2 T est appelée la pulsation fondamentale.  Les pulsations supérieures n! (multiples de !) sont appelées les harmoniques.  Les coe¢cients de Fourier sont dé…nis par: a0 = 1 T Z T 0 f (t) dt, an = 2 T Z T 0 f (t) cos(n!t)dt, bn = 2 T Z T 0 f (t) sin(n!t)dt. (1.5)  Le graphe de an et bn (et parfois p a2 n + b2 n) en fonction de n! est appelé le spectre de la fonction. 1.5.1 Cas des fonctions paires et impaires  Fonctions paires: Une fonction est dite paire si f (t) = f (t) : Dans la série de Fourier des fonctions paires, il n’y a que les termes en cosinus et parfois la uploads/Histoire/ chap-1-cours-phys-3.pdf

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• Publié le Nov 06, 2021
• Catégorie History / Histoire
• Langue French
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