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ÉVALUATION DE L’INCERTITUDE EN UTILISANT LES SIMULATIONS DE MONTE CARLO M. Dése

ÉVALUATION DE L’INCERTITUDE EN UTILISANT LES SIMULATIONS DE MONTE CARLO M. Désenfant *, N. Fischer *, B. Blanquart **, N. Bédiat** *Laboratoire national de métrologie et d’essais (LNE) ** Centre Technique des Industries Aérauliques et Thermiques (CETIAT) Résumé Le premier supplément du GUM [1], traitant de l’évaluation de l’incertitude par propagation des distributions, doit paraître en 2007 [2]. Ce supplément, qui utilise la méthode numérique de Monte Carlo permet de traiter les cas où toutes les hypothèses de la loi de propagation des variances (méthode LPU) et les concepts associés ne sont pas vérifiés. Nous exposons les différentes étapes de la méthode de Monte Carlo (MCM) ainsi que ses avantages. Pour illustrer cette technique, nous présentons deux exemples appliqués à la métrologie et aux essais, en mettant en parallèle la propagation des variances et la propagation des distributions. Abstract The supplement 1 to the GUM, dealing with the evaluation of uncertainty using the propagation of distributions, will be published this year. This supplement, based on a Monte Carlo method (MCM), allows one to deal with the evaluation of uncertainty even when the hypotheses of the law of propagation of uncertainty (LPU) are not verified. We describe the different steps of the MCM and its advantages. Then to illustrate the method, we present two examples in the fields of metrology and testing and we compare the results given by both methods. Introduction Le guide pour l'expression de l'incertitude de mesure (GUM) s'appuie sur la loi de propagation des variances (LPU) pour le calcul de l'incertitude-type composée. Celle-ci est estimée à partir d'un développement de Taylor appliqué au modèle du processus de mesure; le calcul requiert donc la validité d'un certain nombre d'hypothèses mathématiques. En premier lieu, le modèle ne doit pas présenter de non-linéarité significative. Les dispersions observées doivent être faibles pour chacune des variables du processus de mesure, comparables du point de vue de leur ordre de grandeur et doivent présenter des distributions symétriques. Enfin, la distribution de la grandeur de sortie du modèle doit présenter un profil gaussien pour pouvoir calculer et interpréter aisément la valeur du facteur d’élargissement k. D'un point de vue strictement opérationnel, l'application de la loi de propagation de l’incertitude nécessite la dérivation du modèle du processus de mesure par rapport à chacune de ses variables afin d'en estimer les coefficients de sensibilité. Outre les hypothèses mathématiques de dérivabilité du modèle, son application peut se révéler délicate dans un contexte industriel. Elle peut constituer un frein à l'avancement du calcul et une source d'erreur potentielle. Une alternative à ce calcul est aujourd'hui décrite dans le premier supplément du GUM, à paraître en 2007 [1]. Le métrologue se voit proposé d'utiliser les outils de simulation numérique et en particulier la méthode de Monte Carlo pour propager non pas uniquement deux statistiques (moyenne et variance) mais les distributions de variables décrivant le processus de mesure. A titre d'illustration, les deux méthodes d'estimation de l'incertitude-type composée ont été appliquées à deux processus de mesure distincts afin de dégager les points forts de chacune d'entre elles et les difficultés qui peuvent survenir dans le cadre de leur mise en œuvre. Le premier de ces exemples relève de l'activité de qualification des performances de composants thermiques, menée par le Centre Technique des Industries Aérauliques et Thermiques. Il s'agit du processus de détermination de la puissance thermique fournie, par exemple, par une chaudière et dont l'incertitude est classiquement obtenue à l'aide de la loi de propagation. Le second exemple est emprunté à la métrologie des masses, il concerne la détermination de la masse conventionnelle d'un corps. Propagation des distributions par la méthode de Monte Carlo Compte tenu des limites et contraintes de la méthode LPU décrite dans le GUM pour évaluer l’incertitude de mesure, une approche alternative a été développée. Cette approche connue sous le terme de méthode de Monte Carlo (MCM) fait l’objet du supplément 1 au GUM à paraître prochainement. Il est important de noter que ce supplément ne vient pas remplacer la norme NF-ISO 13005 (GUM) mais la compléter. Le principe de cette méthode n'est plus de propager l’incertitude via le modèle, mais la fonction de densité de probabilité (PDF) des grandeurs d'entrée afin d'obtenir la PDF associée au mesurande. La PDF de chaque grandeur d’entrée étant connue, la PDF du mesurande Y peut être analytiquement obtenue par la formule de Markov. En pratique, mis à part pour des modèles très simples, l'intégrale multiple ne peut pas être évaluée analytiquement. Ainsi le supplément 1 au GUM fournit une méthode numérique qui met en application la propagation des distributions en utilisant une méthode de Monte Carlo (MCM). Cette approche alternative peut se résumer étape par étape, voir la figure 1, selon le processus suivant : 1. Définir le mesurande, le processus de mesure, les facteurs d’influence et expliciter le modèle mathématique. Cette étape, essentielle, est en fait commune à toutes les méthodes d’évaluation de l’incertitude. 2. Associer à chaque grandeur d’entrée une distribution (normale, rectangulaire, etc.) ou une distribution conjointe dans le cas de variables corrélées. Ce choix doit être fait en tenant compte de l’information disponible et selon le principe du maximum d’entropie. C'est-à-dire choisir la PDF g qui maximise l’entropie S: ξ ξ ξ d g g g S X X ) ( ln ) ( ] [ ∫ − = 3. Générer M réalisations de chaque grandeur d’entrée par tirages dans leur PDF. Pour effectuer ces simulations, il est nécessaire de disposer d’un générateur de nombres pseudo aléatoires suffisamment performant (il doit passer un certain nombre de tests). Le supplément 1 au GUM préconise de procéder à M = 106 tirages. 4. Calculer via le modèle mathématique les M valeurs obtenues de la grandeur de sortie, ce qui permet de construire la distribution empirique du mesurande. 5. Synthétiser l’information obtenue sur le mesurande en restituant : a. L’espérance mathématique b. L’écart type c. L’intervalle le plus court au niveau de probabilité spécifié (souvent 95%) Figure 1 – Les différentes étapes de la méthode de Monte Carlo La méthode dévaluation de l’incertitude par propagation des distributions ainsi décrite présente plusieurs avantages par rapport à l’approche traditionnelle basée sur la loi de propagation de l’incertitude : - plus aucun calcul de dérivée partielle n’est nécessaire - plus de limite de validité de la méthode liée à la non linéarité du modèle et/ou des incertitudes " fortes " sur les grandeurs d’entrée. - plus aucune difficulté liée au choix du facteur d’élargissement. De plus selon le supplément 1 du GUM (sub. 8.1.1), le cadre de validité de la MCM est plus large que celui de la méthode LPU. Par conséquent, il est recommandé d’utiliser les résultats de MCM pour valider ceux obtenus par la méthode LPU. Une procédure de validation simple est décrite dans le supplément. Tout d’abord il est nécessaire de déterminer la tolérance δ associée au résultat z calculé. Celui-ci est exprimé sous la forme z = c.10l où c est la valeur du dernier digit, ndig , jugé significatif pour z. Alors, on écrira : δ = 0,5.10l. Prenons l’exemple de l’estimation de l’incertitude u(y) d’une masse où seul un chiffre significatif est retenu. Ceci signifie que, ndig = 1, u(y) = 0,0006 g, c'est-à-dire c = 6 et l = -4. La tolérance vaut alors : δ = 0,5.10-5g. La seconde étape du processus de validation revient à comparer les incertitudes élargies obtenues par chacune des méthodes. On forme les différences : highMCM highLPU high lowMCM lowLPU low y y d y y d − = − = Si ces différences sont toutes les deux inférieures à la tolérance préalablement déterminée, alors les résultats obtenus par la méthode LPU auront été validés. Dans le cas contraire, il faudra s’en tenir aux résultats obtenus par la méthode MCM. Y=f(x1,x2,x3) Étape 2 Étape 3 Étape 5 Étape 4 8 7 6 M 4 4 4 8 4 4 4 7 6 M M M Y M X X X M M M y y y f x x x x x x x x x             ⇒             2 1 3 2 1 3 2 1 32 22 12 31 21 11 8 7 6 M 4 4 4 8 4 4 4 7 6 M M M Y M X X X M M M y y y f x x x x x x x x x             ⇒             2 1 3 2 1 3 2 1 32 22 12 31 21 11 [ylow;yhigh] ) ~ ( ; ~ y u y [ylow;yhigh] ) ~ ( ; ~ y u y Étape 1 Pas N°1 Pas N°2 Pas N°M Application dans le domaine des essais Le CETIAT, Centre technique des Industries Aérauliques et Thermiques, réalise des essais de performances thermiques uploads/Industriel/ 117-desenfant-incertitude-simulations-monte-carlo.pdf