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MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL Cours & Applications Hichem Chaabane Professeur de

MÉCANIQUE DU POINT MATÉRIEL Cours & Applications Hichem Chaabane Professeur de Physique à l'ISITCom ‐ Hammam Sousse ‐ Tunisie Année 2010 Table des Matières Chapitre I : Cinématique du Point Matériel……………………………………………………………………………… 02 Chapitre II : Dynamique du Point Matériel Dans Un Référentiel Galiléen…………………………………. 22 Chapitre III : Travail Et Énergie…………………………………………………………………………………………………. 37 Chapitre IV : L'Oscillateur Harmonique Et amorti Par Frottement Fluide…………………………………. 49 Chapitre V : Oscillateur Harmonique En Régime Forcé…………………………………………………………….. 61 Chapitre VI : Le Moment Cinétique………………………………………………………………………………………….. 66 Chapitre VII : Les Changements De Référentiels………………………………………………………………………. 71 Chapitre VIII : Dynamique du Point Matériel Dans Un Référentiel Non Galiléen……………………… 78 Chapitre IX : Système De Deux Points Matériels En Interaction……………………………………………….. 92 Chapitre X : Les Mouvements À Force Centrale……………………………………………………………………….. 103 Chapitre I : Cinématique du Point Matériel Mécanique du Point Matériel Hichem Chaabane ‐ Année 2011 ISITCom ‐ Hammam Sousse 2 Chapitre I CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL La mécanique étudie le mouvement des corps et la relation entre ce mouvement et des notions physiques telles que la force et la masse. Elle se divise en trois parties : ‐ la cinématique qui a pour objet l’étude de mouvement en fonction des concepts d’espace et de temps en faisant abstraction de ses causes. ‐ la dynamique qui étudie les relations entre les mouvements et les forces qui les produisent. ‐ la statique qui est l’étude des équilibres et des conditions aux quels doivent satisfaire les forces s’exerçant sur un corps pour qu’il reste au repos s’il l’est initialement. Dans notre cas nous ne parlerons que très peu de la statique, en la mentionnant comme cas particulier de la dynamique. I ‐ DÉFINITIONS FONDAMENTALES I ‐ 1 ‐ point matériel Un mouvement est le changement continu de la position d’un objet et peut s’accompagner de rotations ou de vibrations. Dans de nombreuses situations, on peut traiter l’objet comme s’il s’agissait d’une particule. C’est à dire que l’état mécanique du système peut être suffisamment bien représenté par les coordonnées d’un point. C’est un élément matériel, cohésif, de petites dimensions par rapport aux autres dimensions mises en jeu. On lui associe un scalaire positif ࢓ appelé sa masse qui est la quantité de matière contenue dans le volume de l'objet. I ‐ 2 ‐ événement Les phénomènes physiques peuvent être considérés comme un ensemble d’événements, c’est à dire des phénomènes élémentaires qui se produisent en des endroits déterminés de l’espace et à un instant donné. I ‐ 3 ‐ temps En mécanique Newtonienne, le temps est une variable indépendante représentée généralement par la lettre ࢚ à l'exclusion de toute autre notation (sauf précisions particulières à un problème déterminé), qui repère l’instant où l’événement s’est produit. Cette variable temps s’écoule dans un sens et pas dans l’autre (dans un sens tel que la cause précède l’effet): tel événement a lieu après tel autre. Quand on sait classer la succession temporelle des événements on dit que l’on a établit une chronologie. Nous supposons aussi que le temps est uniforme, ce qui revient à dire que les lois physiques sont invariantes par translation dans le temps. I ‐ 4 ‐ repère d’espace On appelle repère d’espace, un ensemble de points dont les distances sont invariables au cours du temps. On caractérise généralement un repère d'espace par un point ࡻ, origine du repère, choisi conventionnellement et une base (࢛ ሬ ሬԦ૚, ࢛ ሬ ሬԦ૛, ࢛ ሬ ሬԦ૜) dont on a intérêt à la choisir orthonormée. I ‐ 5 ‐ notions de référentiel de temps absolu Pour définir la position des différents points de l’espace géométrique, un observateur utilisera un repère d’espace (système de coordonnées qui lui est lié) et une horloge pour mesurer les temps. Ce repère espace‐ temps est appelé référentiel. Chapitre I : Cinématique du Point Matériel Mécanique du Point Matériel Hichem Chaabane ‐ Année 2011 ISITCom ‐ Hammam Sousse 3 Nous supposons que le temps est une notion absolue indépendante du référentiel, c’est à dire deux observateurs liés à des référentiels différents attribuent les mêmes dates aux mêmes événements. Notons aussi que la masse d'un point matériel définie dans le paragraphe I‐1, est invariable au cours du temps et par changement de référentiel. I ‐ 6 ‐ mouvement Il faut avant tout noter que la notion de mouvement est relative. Il n'est pas possible de parler avec précision d'un mouvement sans dire par rapport à quoi on l'observe, c'est à dire sans définir un référentiel. L'énoncé d'un mouvement devra obligatoirement être suivi de celui du référentiel correspondant. On dit qu’un point matériel ࡹ est en mouvement si l’une au moins de ses coordonnées varie avec le temps. Si les coordonnées du point ࡹ sont constantes au cours du temps, le point ࡹ est dit immobile ou au repos (toujours par rapport à un référentiel ࡾ bien déterminé). I ‐ 7 ‐ trajectoire Considérons un point ࡹ en mouvement par rapport à un référentiel noté ࡾ. La courbe décrite par ce point quand le temps s’écoule est appelée trajectoire du point ࡹ dans le référentiel considéré. C’est le lieu géométrique des positions effectivement occupées par le point matériel quand le temps s’écoule. I ‐ 8 ‐ vecteur espace (vecteur position) Soit ࡻ l’origine du repère espace et soit ࡹ la position, à l’instant ࢚, de la particule sur sa trajectoire. On appelle vecteur espace (ou aussi vecteur position) le vecteur ࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦ, fonction vectorielle du temps ࢚. On écrit : ࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦሺ࢚ሻ I ‐ 9 ‐ équation horaire du mouvement Considérons une trajectoire (ऍ) décrite par un point matériel en mouvement dans un référentiel ࡾ de base orthonormée directe ൫ଙ Ԧ, ଚ Ԧ, ࢑ ሬ ሬԦ൯. Soit ࡹ૙ la position de cette particule à l’instant ࢚૙ et soit ࡹ sa position sur (ऍ) à l’instant ࢚. L’arc entre ࡹ૙ et ࡹ est égale à षሺ࢚ሻ षሺ࢚ሻ est appelé abscisse curviligne de ࡹ Par définition, on appelle équation horaire du mouvement l’équation donnant l'abscisse curviligne en fonction du temps : षൌषሺ࢚ሻ Dans un repère à trois dimensions (par exemple cartésien) on doit fournir trois équations du même type : ࢞ൌ࢞ሺ࢚ሻ ; ࢟ൌ࢟ሺ࢚ሻ et ࢠൌࢠሺ࢚ሻ II ‐ REPRÉSENTATION DES TRAJECTOIRES II ‐ 1 ‐ différents systèmes de coordonnées En physique, on doit souvent localiser des objets dans l’espace et on se sert pour cela des coordonnées. On peut situer un point sur une ligne à l’aide d’une seule coordonnée (abscisse), un point dans un plan à l’aide de deux coordonnées (abscisse et ordonnée) et un point dans l’espace à l’aide de trois coordonnées (abscisse, ordonnée et côte). M ࢞ ࢟ ࢠ O ࡹ૙ षሺ࢚ሻ sens du mouvement ࡹ Chapitre I : Cinématique du Point Matériel Mécanique du Point Matériel Hichem Chaabane ‐ Année 2011 ISITCom ‐ Hammam Sousse 4 Pour définir des positions dans l’espace, le système de coordonnées utilisé doit comprendre: un point de référence, appelé origine (souvent noté ࡻ), un système d’axes orientés et des moyens de repérer la position d’un point de l’espace par rapport à l’origine et aux axes. Soit donc, un système de trois axes rectangulaires, formé par les trois vecteurs unitaires orthogonaux ଙ Ԧ, ଚ Ԧ, et ࢑ ሬ ሬԦ et d’origine ࡻ et soit ࡹ un point de l’espace, sa position est définie par le vecteur position ࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦ. L’expression de ce vecteur peut prendre différentes formes selon le système de coordonnées utilisé. II ‐ 1 ‐ a ‐ coordonnées cartésiennes On appelle coordonnées cartésiennes du point ࡹ, les trois valeurs algébriques ࢞, ࢟, et ࢠ permettant de localiser ce point dans le repère d’espace (O, ଙ Ԧ, ଚ Ԧ, ࢑ ሬ ሬԦ). Les composantes du vecteur position sont les valeurs algébriques des projections orthogonales de ࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦ sur les directions définies par les vecteurs de base. On écrit alors : ࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌ࢞ଙ Ԧ ൅࢟ଚ Ԧ ൅ࢠ࢑ ሬ ሬԦ avec ࢞, ࢟ et ࢠ∈ሿെ∞, ൅∞ሾ Si seule la coordonnée ࢞ varie de ࢊ࢞, le point ࡹ se déplace de ࢊ࢞ dans la direction ࡻ࢞ dans la direction du vecteur unitaire ଙ Ԧ; il en serait de même des deux autres coordonnées. Ces déplacements élémentaires permettent de définir : ‐ un vecteur déplacement élémentaire : ࢊर ሬሬሬሬሬԦ ൌࢊࡻࡹ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌࢊ࢞ଙ Ԧ ൅ࢊ࢟ଚ Ԧ ൅ࢊࢠ࢑ ሬ ሬԦ ‐ un volume élémentaire : ࢊऺൌࢊ࢞ࢊ࢟ࢊࢠ II ‐ 1 ‐ b ‐ coordonnées cylindriques Il arrive, souvent, qu'un problème ait une symétrie cylindrique, il est plus commode alors d'utiliser le système de coordonnées cylindriques. On appelle ࢉ࢕࢕࢘ࢊ࢕࢔࢔éࢋ࢙ ࢉ࢟࢒࢏࢔ࢊ࢘࢏࢛ࢗࢋ࢙ le triplet (࣋,࣐,ࢠ), permettant de localiser le point ࡹ tout aussi bien que le triplet (࢞,࢟,ࢠ). Soit le point ࢓, projeté orthogonal de ࡹ sur le plan ࢞ࡻ࢟ Le paramètre ࣋ représente la distance ࡻ࢓ തതതതത et ࣐ l’angle entre ଙ Ԧ et ࡻ࢓ ሬሬሬሬሬሬሬԦ. y z x M x z O dy x+dx z+dz dz dx y+dy y y z x i k M x y z O j    Chapitre I : Cinématique du Point Matériel Mécanique du Point Matériel Hichem Chaabane ‐ Année 2011 ISITCom ‐ Hammam Sousse 5 O M  m y x z z  H ࢛ ሬ uploads/Industriel/ cours-de-physique-1ere-et-2eme-annee-de-cpge-scientifique-mecanique-du-point-materiel.pdf