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1/3 Université polytechnique de Bobo-Dioulasso ----------------------- Présiden

1/3 Université polytechnique de Bobo-Dioulasso ----------------------- Présidence ----------------------- Coordination des examens du BTS d’Etat BTS d’ETAT session de 2005 OPTION : IG Epreuve de MATHEMATIQUES APPLIQUEES Durée : 03 heures Coefficient : 03 PROBLEME Partie 1 : (Optimisation de fabrication) (5 points : 2+0,5+1+0,5+0,5+0,5) La société Mini_Confort (M_C) fabrique sur une machine donnée, travaillant 45 heures par semaine, trois produits différents A, B et C. − L’article A laisse un profit de 4 F ; l’article B laisse un profit de 12 F et C laisse un profit de 3 F. − Les rendements de la machine sont respectivement pour les trois produits et dans le même ordre 50 ; 25 et 75 articles par heures. − On sait d’autre part, grâce à une étude du service commercial de M_C, que les possibilités de vente ne dépassent pas : 1 000 objets A ; 500 objets B et 1 500 objets C par semaine. − On se pose le problème de répartir la capacité de production entre les trois produits de manière à maximiser le profit. − On note a, b et c les quantités d’articles A, B et C à produire respectivement. On note x, y, z et t les variables d’écart associées aux différentes contraintes de marché et de temps respectivement. 1) Ecrire le programme linéaire canonique (P) permettant de résoudre ce problème. 2) En utilisant le tableau du simplexe donné en annexe répondre aux questions suivantes : a) Le tableau est-il optimal ? Justifier votre réponse ! b) Donner les valeurs de a, b et c. c) Quelle est la valeur du profit maximal global ? d) Le marché est – il saturé pour les trois produits ? e) La machine fonctionne t-elle exactement 45 heures par semaine ? Sinon quel est le temps non utilisé sur la machine en fin de semaine ? 2/3 Annexe : Extrait des tableaux successifs du simplexe. Hors base En base a b c x y z t Solutions a Inutile 250 b 0 1 0 0 1 0 0 500 x Inutile 750 c 0 0 1 0 0 1 0 1500 Profit : P 0 0 0 0 -4 -1/3 -4/3 11500 Partie 2 (Ordonnancement) (6points : 3+0,5+0,5+1+1) Le service commercial de M_C commercialise, au près des particuliers le produit A. Les services de fabrication de M_C ont étudié l’ordonnancement des opérations à partir de la commande d’un client dans un magasin jusqu’à la livraison. Le tableau ci-dessous donne l’ordonnancement des tâches et leurs durées respectives en jours. 1) Déterminer le chemin critique et sa durée à partir du graphe MPM associé à cet ordonnancement. Que représente cette durée ? 2) Calculer le retard maximum que l’on peut admettre au démarrage de la tâche A sans remettre en cause la date de livraison prévue dans 60 jours. 3) Calculer le retard maximum que l’on peut admettre au démarrage de la tâche C sans remettre en cause le début des opérations suivantes. 4) La durée de la tâche D considérée jusqu’à présent comme certaine est en réalité aléatoire et peut-être considérée comme suivant une loi normale de moyenne 40 jours. L’étude de l’exécution d’un certains nombre de commandes montre que la probabilité que la durée de la tâche D soit comprise entre 36 et 44 jours est de 0,6826. Déterminer l’écart type de la durée de la tâche D. 5) A la suite d’un changement d’équipe dans les services de fabrication la durée de la tâche D est devenue plus fluctuante encore et suit maintenant une loi normale d’espérance mathématique 40 jours et d’écart type 5. Calculer la probabilité que la durée de la tâche D soit telle que l’on ne puisse livrer dans le délai prévu, si on suppose que D démarre à sa date de début au plus tôt. Tâches A B C D E F G H I J Tâches suivantes D,E,F E E, F J G G H, I J J - Durée (en jours) 10 20 5 40 10 4 12 5 15 3 Partie 3 (4points : 1,5 +1+1,5) Pour toute commande du produit A, le service commercial propose de livrer ses clients à domicile dans un rayon de 20 km pour un prix forfaitaire. La livraison lui coûte 100 F au km. Soit X la variable aléatoire qui mesure la distance en km du magasin au domicile du client. On suppose que X suit une loi normale de moyenne 10 et de variance 25. 1) Calculer le coût moyen d’une livraison. 2) Quelle est la probabilité pour un client de ne pas pouvoir être livré ? 3) Déterminer le pourcentage des clients livrés au-delà de 15 km. Exercice : (5 points : 1+1+1+2(1+1)) On considère une variable aléatoire X de Poisson de paramètre 1. 1°) Montrer que pour tout naturel n on a : a) 1 1 + = + n p p n n , où ) ( n X P pn = = . b) ! 0 n p pn = . 2°) Compléter le tableau suivant : n 0 1 2 3 4 5 6 et + pn 0,368 3°) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que P (X < n) = 0,999. 4°) Application Une banque organise sa trésorerie de façon à satisfaire 99,9% des demandes de retrait en espèces probables à ses guichets automatiques. Elle a 1000 abonnés (à ce type de retrait) qui ont 1000 F sur leur compte et qui ont chacun 0,1% de chance de venir faire un retrait. On suppose que le seul retrait possible est de 1000 F. On note X la variable aléatoire égale au nombre de retraits. a) Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres et sa moyenne. b) Combien faut-il avoir d’argent à ce guichet automatique à l’ouverture de la banque ? Données : Si F désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite on donne : F ( 0 ) = 0,5 ; F( 1 ) = 0,8413 ; F( 1,5 ) = 0,9332 ; F( 2 ) = 0,9772 ; F( 2,5 ) = 0,9938 ; F( 3 ) 0,9986 ; F(1,6) = 0,945 ; F(1,96) = 0,975 ; F( 1,4 ) = 0,919. 3/3 Université polytechnique de Bobo-Dioulasso ----------------------- Présidence ----------------------- Coordination des examens du BTS d’Etat BTS d’ETAT session de 2005 OPTION : BANQUE ET ASSURANCE Epreuve de MATHEMATIQUES Durée : 03 heures Coefficient : 03 NB : - Aucun document n’est autorisé ! - Les quatre exercices sont indépendants. Exercice n° 1 : (6 points : 1+1+1,5+0,5+1+1) On considère les matrices A = , I = , U = , V= et W= . ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 0 1 2 1 0 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −1 0 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 1) Calculer le déterminant de A. A est–elle inversible ? 2) En déduire que 0 est une valeur propre de A. 3) Calculer les vecteurs AU ; AV et AW. En déduire que U ; V et W sont des vecteurs propres de A. 4) En déduire l’ensemble des valeurs propres de A. 5) Montrer que (U ; V ; W) est une base de IR3. 6) Ecrire la matrice D semblable à A relativement à la (U ; V ; W). Exercice n°2 : (5 points : 1,5+1+1+1+0,5) 1°) On considère la fonction ƒ définie sur D =] -∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [par ²) 1 ( 1 ² ) ( x x x x f + − = . a) Déterminer trois réels tels que : c b a , , x c x b ax x f + + + = 1 ² ) ( . b) En déduire les primitives F de ƒ sur D. 2°) Soit l’équation différentielle (E) : x y x y x x 2 ) 1 ² ( ' ²) 1 ( − = − − + a) Déterminer les solutions de l’équation sans second membre associée à ( E ). b) Vérifier que la fonction ϕ définie sur D par x x 1 ) ( = ϕ est une solution particulière de ( E ). c) Ecrire alors la solution générale de (E) sur D. d) Déterminer la solution de (E) définie sur IR. 1/2 Exercice n°3 : (5 points : 1,5+1+1+1,5) On considère une variable aléatoire X de Poisson de paramètre 1. 1°) Montrer que pour tout naturel on a : n a) 1 1 + = + n p p n n , où . b) ) ( n X P pn = = ! 0 n p pn = . 2°) Compléter le tableau suivant : n 0 uploads/Industriel/ maths-2005.pdf