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Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée

Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Position du problème 1. Présentation On a vu que le rôle d’un système asservi est de faire suivre à la sortie s(t) une loi déterminée en général par l’entrée e(t). Un système est jugé par sa stabilité, par la précision avec laquelle il suit la loi d’entrée. Les sources d’erreur sont à la fois les variations de l’entrée mais aussi les effets des perturbations On distingue deux type d’erreurs L’erreur statique : c’est l’erreur en régime permanent entre la sortie et la loi d’entrée. Pour déterminer cette erreur on soumet le système à des entrées canoniques: • échelon, on parle alors d’erreur indicielle; • rampe , erreur de traînage ou erreur de poursuite; • accélération, erreur en accélération. L’erreur dynamique : c’est l’écart instantané entre la sortie et l’entrée lors de la phase transitoire suivant l’application de l’entrée ou après une perturbation (hors du programme). 2. Données Dans la suite, on supposera que la fonction de transfert en boucle ouverte du système étudié peut être mise sous la forme : ( ) ( ) ( ) FTBO O p F p R p = = ⋅ (retour non unitaire) ( ) ( ) FTBO O p F p = = (retour unitaire) La FTBO peut s’écrire dans tous les cas sous la forme ( ) ( ) ( ) O p K N p p D p = ⋅ ⋅ α avec ( ) ( ) N classe K gain statique D 0 1 0 1 0 = = = = ≥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ α α Cas d’un système à retour non unitaire : F(p) R(p) E(p) S(p) ε(p) Cas d’un système à retour unitaire : F(p) E(p) S(p) ε(p) B. Erreur statique 1. Ecart en régime permanent - erreur statique a) Définition, L’écart en régime permanent est la limite quand t tend vers l’infini de e(t)-s(t). Un système sera précis si cet écart tend vers 0, c’est à dire que la sortie tend vers la valeur spécifiée de l’entrée. Remarque: dans le cas d’un retour non unitaire, l’écart se mesure entre e(t) et m(t), avec m(t) mesure de s(t). Par la suite nous considérons le cas des systèmes à retour unitaire. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε p E p S p E p O p O p E p = − = − + ⋅ 1 en remplaçant ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε α α p K N p p D p K N p p D p E p = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ 1 1 donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε α α p p D p p D p K N p E p = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Nous supposerons pour la suite que le système est stable, donc nous pouvons utilisez le théorème de la valeur finale: 28/10/03 Systèmes asservis page 1/5 Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot ( ) ( ) [ ] lim lim t p s t p S p →∞ → = ⋅ 0 Ici on peut donc écrire pour l’écart : ( ) ( ) [ ] ε ε ε s p p p = ∞= ⋅ → lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ε α α s p O p p D p p D p K N p E p = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ → lim On le voit l’erreur statique dépend de la nature de l’entrée mais aussi de la fonction de transfert en boucle ouverte, Nous allons dans la suite étudier en fonction des entrées types (échelon, rampe, accélération) et de la nature du système l’erreur statique 2. Réponse à un échelon : Erreur indicielle L’erreur indicielle est l’erreur entre une entrée en échelon et la sortie du système. L’entrée est donc de la forme : ( ) ( ) e t E u t = ⋅ 0 dans le domaine symbolique : ( ) E p E p = 0 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ε ε ε α α s p p O p p p p D p p D p K N p E p = ∞= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ → → lim lim 0 0 ( ) ( ) ( ) ε α α α α s p O p p D p p D p K N p E E p p K = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ → → lim lim 0 0 0 on voit que la précision est fonction de la classe du système a) système de classeα = 0 ε s p E p p K E K = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= + → lim 0 0 0 0 0 1 b) système de classeα > 0 ε α α α s p p E p p K E p K = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= → → lim lim 0 0 0 0 0 3. Réponse à une rampe : Erreur de poursuite, erreur de traînage L’écart de poursuite est l’erreur entre la sortie et une entrée de type rampe ( ) ( e t a t u t) = ⋅⋅ d’où ( ) E p a p = 2 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ε ε ε α α s p p O p p p p D p p D p K N p a p = ∞= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ → → lim lim 0 2 ( ) ( ) ( ) ε α α s p O a p D p p D p K N p = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ → − lim 1 enfin ε α α s p O a p p K = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ → − lim 1 a) système de classeα = 0 La FTBO ne possède pas d’intégration : ε s p O a p K = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= +∞ → − lim 1 1 Le système n’est pas précis, il n’est pas capable de rejoindre l’entrée souhaitée 28/10/03 Systèmes asservis page 2/5 Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot b) système de classeα = 1 La FTBO possède une intégration : ε s p O a p K a K = + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= → lim c) système de classeα > 1 La FTBO possède plus d’une intégration : ε α α s p O a p p K = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥= → − lim 1 0 4. Réponse à une entrée parabolique - Erreur en accélération Echelon d’accélération d’où ( ) ( ) e t a t u t = ⋅ ⋅ 2 ( ) E p a p = ⋅ 2 3 Par analogie avec l’étude précédente , en fonction de la classe du système, on peut déduire la précision du système. a) système de classeα < 2 ε s = +∞ b) système de classeα = 2 ε s a K = 2 c) système de classeα > 2 ε s = 0 5. Tableau récapitulatif entrée Classe du système classe 0, α = 0 pas d’intégration Classe 1 1 intégration Classe 2 2 intégrations classe >2 Entrée en échelon ε s E K = + 0 1 ε s = 0 ε s = 0 ε s = 0 Entrée rampe ε s a K = ε s = 0 ε s = +∞ ε s = 0 Entrée parabolique ε s = +∞ ε s = +∞ ε s = 0 ε s a K = 2 a) Remarque importante: Il ne faut pas déduire rapidement du tableau qu’il suffit de rajouter une intégration pour que le système soit précis, en effet chaque intégration ajoute aussi un déphasage de -90°, le système risque donc de devenir instable. 28/10/03 Systèmes asservis page 3/5 Sciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot C. Effet d’une perturbation sur la précision 1. Présentation du problème a) Schéma bloc ( ) ( ) ( ) F p K N p p D p 1 1 1 1 1 = ⋅ uploads/Industriel/ sa6-precision-des-s-a-pdf.pdf