Introduction ` a la th´ eorie des probabilit´ es et ` a la statistique S´ egole

Introduction ` a la th´ eorie des probabilit´ es et ` a la statistique S´ egolen Geffray IUT Carquefou Ann´ ee 2008-2009 segolen.geffray@univ-nantes.fr S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat La d´ emarche S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Distinction Proba/Stat La Th´ eorie des probabilit´ es : permet de mod´ eliser des ph´ enom` enes al´ eatoires et d’y effectuer des calculs th´ eoriques concerne les populations : on ne peut donc pas faire de mesures. La Statistique : concerne les ´ echantillons, le monde r´ eel, la pratique, on fait des mesures (observations) sur des individus, repose sur la mod´ elisation probabiliste des observations. S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Un exemple concret Un fabricant d’ampoules souhaite v´ erifier la qualit´ e des ampoules ´ electriques produites dans sa chaine de montage. Pour cela, il propose donc d’´ evaluer la dur´ ee moyenne de bon fonctionnement d’une ampoule. Comment faire ? on ne peut pas tester toutes les ampoules produites par la chaine de montage ! On tire un ´ echantillon au hasard On r´ ealise l’exp´ erience, on effectue des mesures, on calcule la dur´ ee moyenne de bon fonctionnement des ampoules de l’´ echantillon On approxime la dur´ ee moyenne de bon fonctionnement des ampoules de la population enti` ere par la dur´ ee moyenne de bon fonctionnement des ampoules de l’´ echantillon S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Un exemple concret (suite) Comment savoir si ce qu’on vient de faire est licite ? Quelle est la qualit´ e de l’approximation ? Il faut ´ etudier la th´ eorie des probabilit´ es et la statistique ! Si on tire un autre ´ echantillon, il y a de fortes chances que l’on n’obtienne pas les mˆ emes r´ esultats. Ces fluctuations (ou erreurs d’´ echantillonnage) sont dues ` a la variabilit´ e. Cela signifie que des objets semblables en apparence peuvent pr´ esenter des diff´ erences lorsqu’on effectue des mesures. S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Les diff´ erents aspects de la Statistique Observer ne suffit pas ! Statistique descriptive : R´ esumer les mesures sur un ´ echantillon (moyenne, variance,...) Repr´ esenter les mesures (histogramme, distribution) Statistique inf´ erentielle : G´ en´ eraliser les propri´ et´ es d’un ´ echantillon ` a une population en prenant en compte les fluctuations d’´ echantillonnage il faut mod´ eliser les observations (par des variables al´ eatoires) : on fait appel ` a la th´ eorie des probabilit´ es Tests d’hypoth` eses : Contrˆ oler la validit´ e d’un mod` ele Comparer un ´ echantillon ` a une r´ ef´ erence Statistique d´ ecisionnelle : Savoir prendre une d´ ecision alors que les r´ esultats sont exprim´ es en termes de probabilit´ es (i.e. de pourcentage de chances, de risques) S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat 1` ere partie Notions de th´ eorie des probabilit´ es S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Exp´ erience al´ eatoire, ´ ev` enements Une exp´ erience est al´ eatoire si on ne peut pas pr´ evoir ` a l’avance son r´ esultat, et si, r´ ep´ et´ ee dans des conditions identiques, elle peut donner lieu ` a des r´ esultats diff´ erents. Lorsqu’on effectue une exp´ erience, les valeurs obtenues s’appellent des r´ ealisations ou des observations. Univers (not´ e Ω) : ensemble de tous les r´ esultats possibles d’une exp´ erience. Il peut ˆ etre : fini, par ex {x1, ..., xk} infini d´ enombrable : on peut indicer, num´ eroter ses ´ el´ ements jusqu’` a l’infini, par ex {x1, , x2, ..., xn, ...} infini non-d´ enombrable : ceci signifie qu’il n’est pas possible de d´ ecrire l’ensemble sous la forme d’une liste num´ erot´ ee {x1, x2, ..., xk, ...}, par ex l’intervalle [0, 1] est un ensemble infini non-d´ enombrable. Ev` enement ´ el´ ementaire : un des ´ el´ ements de Ωlorsqu’on peut les ´ enum´ erer. Ev` enement : sous-ensemble de Ω. S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Exercice : univers finis 1 Soit l’exp´ erience“une personne lance un d´ e cubique ` a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face sup´ erieure de ce d´ e” . Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? Quels sont les ´ ev` enements ´ el´ ementaires ? 2 Soit l’exp´ erience“une personne lance simultan´ ement deux d´ es cubiques ` a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face sup´ erieure de chaque d´ e” . Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? Quels sont les ´ ev` enements ´ el´ ementaires ? 3 Soit l’exp´ erience“une personne lance simultan´ ement deux d´ es cubiques ` a 6 faces et note la somme des valeurs obtenues sur la face sup´ erieure de chaque d´ e” . Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? Quels sont les ´ ev` enements ´ el´ ementaires ? S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Exercice : univers infinis 1 Soit l’exp´ erience“Alex compte le nombre de v´ ehicules se pr´ esentant au p´ eage de l’autoroute en une journ´ ee” . Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? 2 Soit l’exp´ erience“Mr Martin note, comme chaque midi, la temp´ erature ext´ erieure” . Mr Martin habite ` a Paris o` u la temp´ erature ` a 12h peut varier de -10 ˚ C ` a 43 ˚ C. Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? 3 Soit l’exp´ erience“Mr Jean note, comme chaque lundi, la dur´ ee de son vol Paris-Berlin” . Le vol entre Paris et Berlin dure 1h45, peut avoir jusqu’` a 15 minutes d’avance si le vent est favorable et jusqu’` a 3h de retard en cas de probl` eme. Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? 4 Soit l’exp´ erience“le technicien mesure et p` ese une tige tir´ ee de la production” . La tige est usin´ ee de sorte qu’elle p` ese entre 12g et 25g et mesure entre 8.5cm et 11.5cm. Quel est l’univers associ´ e ` a cette exp´ erience ? S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Rappel : op´ erations sur les ensembles Soient A et B deux ´ ev` enements d’un ensemble fondamental Ω {A ou B} = A ∪B = r´ eunion de A et B {A et B} = A ∩B = intersection de A et B compl´ ementaire de A dans Ω= A = Ω−A ∅= ´ ev` enement impossible Ω= ´ ev` enement certain A et B sont incompatibles ou disjoints lorsque A ∩B = ∅ S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Exercice : ´ ev` enements Soit l’exp´ erience“une personne lance un d´ e cubique ` a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face sup´ erieure de ce d´ e” . 1 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement A= “obtenir une valeur inf´ erieure ` a 4”? 2 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement B= “obtenir une valeur paire”? 3 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement C= “obtenir une valeur inf´ erieure ` a 4 ou une valeur paire”? 4 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement D= “obtenir une valeur inf´ erieure ` a 4 et une valeur paire”? 5 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement E= “obtenir une valeur sup´ erieure ou ´ egale ` a 8”? 6 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement F= “obtenir une valeur inf´ erieure ou ´ egale ` a 6”? S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Exercice : ´ ev` enements (suite) Soit l’exp´ erience“une personne lance simultan´ ement deux d´ es cubiques ` a 6 faces et note la valeur obtenue sur la face sup´ erieure de chaque d´ e” . 1 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement A= “obtenir au moins un 6”? 2 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement B= “obtenir une somme des deux valeurs sup´ erieure ou ´ egale ` a 10”? 3 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement C= “obtenir au moins un 6 et obtenir une somme des deux valeurs sup´ erieure ou ´ egale ` a 10”? 4 Comment d´ ecrire l’´ ev` enement D= “obtenir un produit des deux valeurs sup´ erieur ` a 100”? S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat R` egle de calcul des probabilit´ es Une probabilit´ e est une fonction not´ ee P qui attribue ` a tout ´ ev` enement A une valeur P(A) d´ esignant la probabilit´ e que A se r´ ealise. Une probabilit´ e poss` ede les propri´ et´ es suivantes : 0 ≤P(A) ≤1 pour tout ´ ev` enement A P(Ω) = 1 P(∅) = 0 P(A) = 1 −P(A) A ⊂B ⇒P(A) ≤P(B) en g´ en´ eral, P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B) mais si A et B sont disjoints, P(A ∪B) = P(A) + P(B) en g´ en´ eral, on a P (∪n i=1Ai) ≤Pn i=1 P(Ai) mais si les Ai sont 2 ` a 2 disjoints, P (∪n i=1Ai) = Pn i=1 P(Ai) S´ egolen Geffray Intro Proba-Stat Probabilit´ es sur uploads/Industriel/cours-statistique-probabilite.pdf

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