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MALDONADO Thierry (SkySeven@gmail.com) DEMUR Mathieu (Tateu@laposte.fr) La Clot

MALDONADO Thierry (SkySeven@gmail.com) DEMUR Mathieu (Tateu@laposte.fr) La Clothoïde Lycée Lakanal Années 2006-2007 TIPE – La Clothoïde 1/44 Sommaire Introduction 3 I-Approche physique du problème 4-8 1) Les limites du virage circulaire 4-5 2) La notion de courbure 6-7 3) Construction de la clothoïde 8 II-Etude de la clothoïde 9-16 1) Paramétrisation de la clothoïde 9-12 2) Certaines propriétés 13-16 III-Exemples de raccordements 17-40 A) Raccordement d’un alignement droit et d’un cercle 17-25 1) Résolution mathématique 17-19 2) Programme Maple 20-21 3) Exemple de raccordement d’un cercle avec une droite 22-25 B) Raccordement de deux alignements droits 26-33 1) Résolution mathématique 26-29 2) Programme Maple 30-33 3) Exemples de raccordement de deux droites 34-40 Annexe : entretien avec un ingénieur 41-42 Bibliographie 43 Conclusion 44 TIPE – La Clothoïde 2/44 Introduction Dans la vie de tous les jours, il est fascinant de constater que nous circulons sur des courbes mathématiques. Quand l'opportunité se présenta de découvrir enfin pourquoi lorsque l'on parcourt un virage d'autoroute, on ne ressent presque pas d'accélération latérale, contrairement aux routes, ceci nous interpella. De plus, notre intérêt concernant le génie civil et la géométrie nous a convaincu que ce sujet était le nôtre. Le long de ce dossier, nous étudierons cette passionante courbe mathématique qu'est la clothoïde et nous verrons tout d'abord pourquoi elle est utilisée dans le tracé des autoroutes puis comment effectuer des raccordements avec celle-ci. Mais tout d'abord remontons le temps et découvrons l'histoire de cette courbe. La clothoïde fut découverte par le mathématicien Jacques Bernouilli dans le cadre de ses travaux en optique en 1705. Il venait de découvrir un ensemble de courbes planes dont la courbure est une fonction linéaire de sa longueur. De plus, ces figures géométriques possèdent la propriété remarquable d'être homothétiques à une clothoïde de référence. Le physicien Alfred Cornu s'y intéressa près d'un siècle plus tard, à l'occasion de travaux sur les phénomènes de diffraction. On attribua d'ailleurs à la clothoïde le nom de spirale de Cornu. Bien plus tard dans les années 70, elle fut utilisée par les ingénieurs civils pour le tracé des autoroutes puis des chemins de fer, et récemment dans les parcs d'attraction. En effet, cette courbe mathématique constitue une transition confortable entre les lignes droites et la portion circulaire d'un virage. A grande vitesse, le passage trop brusque d'une portion de droite à une portion courbe peut être dangereux, et c'est là où la clothoïde intervient. Par exemple, lorsqu'il est question de raccorder un alignement droit à une portion de cercle il est d'usage d'employer une section précisément délimitée d'une spirale de Cornu qui varie selon les cas. Cependant, il existe des limites à ce type de jonction de routes car il y a des situations pour lesquelles il n'existe pas de raccordement clothoïdé. Dans une premier temps, nous nous intéresserons aux raisons de l'utilisation de la clothoïde dans le tracé des routes. Puis nous démontrerons certaines propriétés de celle ci qui seront nécessaires à notre résolution de deux différents problêmes de raccordements.En effet, nous verrons comment raccorder une route droite à un cercle par une clothoïde puis comment relier deux routes droites grâce celle ci. TIPE – La Clothoïde 3/44 I-Approche physique du problème 1) Le virage circulaire Question : Quels sont les inconvénients d’un virage circulaire ? Pour cela étudions les forces exercées sur une voiture que l’on assimilera au point matériel M de masse m par rapport au référentiel absolu terrestre RA=O, i , j. On choisira comme référentiel relatif RM=M , i , j. Voici les hypothèses : La voiture roule à une vitesse V constante et parcourt la droite D : y=R jusqu’au point Mt A à partir duquel la voiture parcourt le cercle de centre O et de rayon R dans le sens horaire. Grâce au théorème de la résultante cinétique, on peut écrire : ∑ f ext M=m aabsolue De plus à chaque instant :  aabsolue= ae ac arelative TIPE – La Clothoïde 4/44 {  aabsolue est l'accélération de M dans R0  arelative est l'accélération de M dans R A  ac=2⋅˚  k∧ v r est l'accélération de Coriolis de M et  vr est la vitesse relative de M  ae est l'accélération d'entrainement de M Or ici, M est fixe dans RM car c’est l’origine de ce repère on en déduit donc que  arelative est nulle et que  ac aussi. On peut donc écrire que : ∑ f ext M=m ae de plus par définition que  Fie=−m ae d’où : ∑ f ext M Fie= 0 Si tt A M est sur l’alignement droit donc  V=V i donc  ae=d  V dt = 0 . Ainsi quand M est sur la droite D,  Fie= 0 . Conclusion 1 : Si la voiture est sur l’alignement droit alors elle ne subit pas de force d’inertie  Fie= 0 . Si t At M est sur le cercle donc on introduit les coordonnées polaires r , et la base locale  u r, u. Ainsi  OM=R  ur donc  V=d OM dt =R⋅˚  u avec ˚ =d dt . Par conséquent,  ae=d  V dt =−R⋅˚  2 ur=−V 2 R  u r car ¨ =0 et V=R⋅˙  donc  Fie=m V 2 R  ur . Conclusion 2 : Si la voiture est sur le cercle alors elle subit une force d’inertie  Fie=m V 2 R  ur . Bilan : Il y a donc une discontinuité de la valeur de la force d’inertie d’entrainement (que l’on appelle la force centrifuge) au point Mt A d’intersection de la droite et du cercle. Cela se traduit par de fortes contraintes sur la voiture et notamment concernant l’adhérence de la voiture sur la route. De plus, ce passage brutal d’une force centrifuge nulle à une force centrifuge particulièrement élevée à grande vitesse est désagréable et dangereux pour les passagers de l’automobile qui subissent instantanément cette force. Cette discontinuité traduit en fait la discontinuité de la courbure de la trajectoire au point MtA. TIPE – La Clothoïde 5/44 2) La notion de courbure Pour approcher le tracé d’une courbe au voisinage d’un point, on a souvent recours à sa tangente. Si cette approximation rend bien compte de la direction suivie au moment du passage au point de contact elle ne permet pas en revanche d’estimer la courbure de la trajectoire autour de M. En effet si l’on trace la normale à cette courbe en M, et que l’on prend un point O sur la normale, alors le cercle de centre O passant par M est tangent à la courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont pas tangents de la même façon... En effet, si O est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l' "intérieur de la courbe". Si O est loin de M, le cercle sera plutôt "à l'extérieur de la courbe". Le rayon limite entre être "à l'intérieur de la courbe" et être "à l'extérieur de la courbe" s'appelle le rayon de courbure de la courbe au point A. Le cercle correspondant se nomme le cercle osculateur. TIPE – La Clothoïde 6/44 Donnons maintenant une définition mathématique précise. On suppose donc que l'on a une courbe paramétrée de classe C2. On note s l'abscisse curviligne* sur la courbe, Ms le point d'abscisse s,  Ts le vecteur tangent au point d'abscisse s et  Ns le vecteur normal. Alors la courbure de la courbe en un point est le réel c tel que d  T ds =c  N . Le rayon de courbure est lui défini par De plus si l’ont note  l’angle que fait la tangente à la courbe et l’axe des abscisses on admettra que c=d ds * l’abscisse curviligne s est une sorte de variante algébrique de la longueur d'un arc. On se donne une origine à partir de laquelle on calcule les longueurs, en les munissant d'un signe pour se situer de façon bien déterminée sur la courbe : à telle distance avant ou après le point initial. TIPE – La Clothoïde 7/44 Rs=1 c En vert, le cercle « le mieux tangent » à la courbe, ou cercle osculateur. 3) Construction de la clothoïde On cherche à déterminer une équation caractéristique de la courbe décrite par une voiture vérifiant les hypothèses suivantes : (1) La voiture roule à une vitesse V constante (2) Le conducteur tourne le volant à une vitesse angulaire constante (3) La variation de l’angle de la tangente avec l’axe des abscisses (Ox) est une fonction linéaire de l’angle de braquage du volant α et l’angle  est nul au point de départ de la voiture situé sur l’axe (Ox) Par (2) les roues tournent aussi à une vitesse angulaire =dα dt constante. Par (3) '=d  dt =k⋅α donc ''=d 2 dt 2 =k dα dt =k⋅ est constante. Notons s la longueur de la trajectoire parcourue, autrement dit s uploads/Ingenierie_Lourd/ 06-07-tipe-la-clothoide.pdf