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EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Les

EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 6 -Corrigé- 1/3 Corrigé de la série d'exercices N°7 Exercice 1 Soit K1 la rigidité équivalente du premier étage : 9 6 7 2 2 3 3 6 1 3 210 10 308.2 10 6.472 10 64720 4 4 1280 2 12 1,5 12 2 17.98 10 3 3 9 EI Nm kNm EI N K E I E I m H H H Soit K2 la rigidité équivalente du deuxième étage : 3 6 2 3 2 2 12 192 24.27 10 EI N K EI m H H Soit Kequ est la rigidité équivalente de K1 et K2 associés en série : 1 2 6 1 2 1 2 1 1 1 10.33 10 10330 32.14 2 8 equ equ equ n K K N K m K K K K K K rad m M s Dans le cas d’un choc mou, la loi de la conservation de la quantité de mouvement nous permet d’écrire : 1 1 2 2 m v m v Avec : 1 2 1 2 ; ; ; ( 0) m M m M m v V v x t Phase 1 : L’arbre tombe sur le portique. Phase 2 : La structure subit des oscillations. A. On admet des oscillations non amorties. En respectant les conditions initiales pour la phase 2 (voir cours, section 2.8.7) le déplacement xmax est calculé de la manière suivante : 1 1 max 1 2 2000 10 0.062 2000 8000 32.14 n n m v M V x m m m m M Le déplacement maximal au point B est égal à 62 millimètres. B. Avec un amortissement ζ = 0.1 : La réponse du portique est donnée par : ( ) cos sin nt D D x t e C t D t Avec : 2 1 D n V x(t) K1 m K2 M EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 6 -Corrigé- 2/3 La vitesse est obtenue en dérivant x (t) par rapport au temps, ( ) cos sin n n t t D n D n D D x t D C e t D C e t Les coefficients C et D sont déterminés en utilisant les conditions initiales : (0) 0 x C (0) ( ) D n D M x V D C D m M Ce qui donne : 0 D MV C et D m M L’équation du mouvement (oscillations amorties) devient donc : ( ) sin nt D D MV x t e t m M Avec : 2 1 31.98 D n rad s Ce qui donne : 3,214 ( ) 0,0625 sin 31,98 t x t e t Sur la figure ci-dessus, on peut observer que le déplacement maximal est égale à 0.053 m à t=0.05s. Exercice 2 1. Calculons la valeur du déplacement maximal que trouverai chacun des deux étudiants. Etudiant A : max . 2. 2. 0.06 F M g x m k k    Etudiant B : La masse M touche le plateau à une vitesse V1 : 1 2 4.47 V gh m s   0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 temps [s] déplacement [m] EPFL IMAC-IS-ENAC Cours de Dynamique des structures Prof. I. Smith / Dr. P. Lestuzzi Série 6 -Corrigé- 3/3 La pulsation propre du système est égale à : 14.14 n k rad s M m    1 max 0.19 ( ) n MV x m M m     2. L’étudiant B donne une modélisation correcte. L’étudiant A néglige l’effet dynamique du choc entre les deux masse. Aussi, les caractéristiques du système oscillant sont modifiées après le choc (masse et pulsation propre). uploads/Ingenierie_Lourd/ 06-exercice-cornew.pdf