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Calcul assisté par ordinateur Module calcul de structure 07/11/2020 EMI 2020/20

Calcul assisté par ordinateur Module calcul de structure 07/11/2020 EMI 2020/2021 1 Pr.Chaïmaâ HERMAMA Simulation 07/11/2020 EMI 2020/2021 115 Contexte 07/11/2020 EMI 2020/2021 116 La mécanique des milieux continus, ou MMC, est la base de la résolution de problèmes en mécanique des solides et mécanique des fluides. La MMC permet de traiter tout type de problème, par la résolution des modèles mathématique en tout point du domaine considéré, pour être utilisée directement dans le dimensionnement des produits industriels courants. Dans le cas de la mécanique des solides, les ingénieurs ont isolé des cas particuliers de la MMC, où via certaines hypothèses sur les géométries et le chargement, la résolution peut se faire plus aisément. Ce domaine de la mécanique des solides se nomme la mécanique des structures et se définit, par opposition à la MMC, comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est très faible devant les autres. Définition calcul des structures 07/11/2020 EMI 2020/2021 117 Le calcul des Structures est une discipline très ancienne, elle s’est reposée au début sur l’utilisation de modèles simplifiés, qui vont permettre l’analyse des structures de façon rapide. Le développement industriel donne naissance à des systèmes et des phénomènes physiques plus compliquées, Ce qui a conduit à des problèmes mathématiques fastidieux voir insolubles. D’où l’intérêt des méthodes numériques qui se basent sur des techniques de discrétisation qui permet de transformer une théorie « continue » en une théorie « discrète » conduisant à de simples systèmes d'équations que l'on sait résoudre. Cette transformation repose sur des hypothèses fortes, qui réduisent le domaine de validité de la théorie et qui doivent donc être bien comprises. Le calcul de structure est réparti en plusieurs catégories selon : • La considération du paramètre du temps • Le phénomène étudié • Les non linéarités Rappel lois de comportement 07/11/2020 EMI 2020/2021 118 Courbe de traction L’essai de traction enregistre le rapport entre la force appliquée sur l’éprouvette et son allongement. On en déduit la courbe normalisée ௡ ௡appelée courbe de traction nominale, qui dépend du matériau testé. La contrainte nominale ௡et la déformation nominale ௡sont définies par : avec une force F, une section uniforme ଴, une longueur l et une longueur initiale ଴ (allongement = ଴). ௡ ி ௌబ ௡ ଴ ଴ Rappel lois de comportement 07/11/2020 EMI 2020/2021 119 Eprouvette avant traction Pendant la traction – allongement de l’éprouvette Résistance mécanique Rm atteinte _ Apparition d’une striction Résistance à la rupture Rr atteinte _ Rupture de l’éprouvette Rappel lois de comportement 07/11/2020 EMI 2020/2021 120 La limite d’élasticité Re est une valeur théorique difficilement mesurable. On exploite alors la Rp0.2 : c’est une déformation permanente de 0.2% de l’éprouvette après le relâchement de l’effort. Jusqu’à la limite d’élasticité Re, la loi est σ = E.ε. Dans ce domaine linéaire, l’éprouvette revient exactement à sa taille initiale après relâchement du chargement : on parle de déformation élastique. Au-delà de la limite d’élasticité Re et de ce régime linéaire, l’éprouvette reste déformée de manière permanente après relâchement de l'effort : on parle de déformation plastique. Rappel lois de comportement 07/11/2020 EMI 2020/2021 121 Contraintes et déformations vraies La déformation nominale (ou contrainte nominale) est exploitable pour des déformations inférieures à 5%. À mesure que la déformation augmente, la section d’origine S0 de l’éprouvette diminue : F/S0 n’est plus exploitable. On doit prendre en compte cette réduction de section : on parle alors de déformations et contraintes vraies. Pour les calculs en grande déformation de type non linéaires (matériau et géométrie), on exploite la loi comportementale vraie du matériau. 07/11/2020 EMI 2020/2021 122 Critère de plasticité Un critère de plasticité, ou critère d'écoulement plastique, est un critère permettant de savoir, sous des sollicitations données, si une pièce se déforme plastiquement ou si elle reste dans le domaine élastique. De nombreux essais ont montré que l'on pouvait utiliser deux critères principaux : le critère de Tresca-Guest ou le critère de von Mises. Contrainte équivalente de Von Mises : ௘ ଵ ଶ భ మ ଵ ଶଶ ଶ ଷଶ ଷ ଵଶଵ/ଶ Contrainte équivalente de Tresca : ௘ ଵ ଶ ଶ ଷ ଷ ଵ On remarque que le critère de Tresca est conservatif par rapport à Von Mises, notamment en cisaillement : en effet, les limites admissibles avec Tresca sont inférieures ou égales à celles admissibles avec Von Mises. C'est pourquoi, en cisaillement pur, le post-traitement en Tresca peut être préféré, bien que Von Mises traduise aussi le cisaillement. Définition des non linéarités 07/11/2020 EMI 2020/2021 123 Un phénomène est linéaire : lorsque un changement de l’intensité de la cause produit un changement de l’effet dans les mêmes proportions. Les systèmes linéaires ont donc en général un comportement qui dépend de l’intensité du signal d’entrée. Un phénomène est non linéaire : lorsque un changement de l’intensité de la cause ne produit pas un changement de l’effet dans les mêmes proportions. Par exemple, les fréquences particulières d’un système non linéaire (fréquences de résonance, fréquence d’oscillations libres) dépendent de l’amplitude de l’excitation. Définition des non linéarités 07/11/2020 EMI 2020/2021 124 En mécanique des structures, plusieurs types de non-linéarités peuvent être considérées : • Les non-linéarités matérielles • Les non-linéarités géométriques • Les non-linéarités liées à l'évolution des conditions aux limites • Les non-linéarités liées aux instabilités du comportement Définition des non linéarités 07/11/2020 EMI 2020/2021 125 Les non-linéarités matérielles dues à la loi de comportement du solide. Le plus souvent, cette loi peut s'exprimer sous la forme d'équations différentielles du temps non-linéaires du premier ordre. Exemple d’une relation entre le tenseur des force et le tenseur des allongements dans le cas élastique linéaire et élastique non linéaire : Force Allongement F = k(x) x Ressort non-linéaire raideur variable Force Allongement F = k x Ressort linéaire raideur constante Elastique linéaire Elastique non linéaire Un problème élastique non- linéaire est un problème pour lequel la matrice de rigidité de la structure varie avec sa déformation. Autres exemples: Les matériaux élasto-plastiques, La plupart des métaux présentent ce comportement, lorsque les contraintes dépassent leur limite élastique. Définition des non linéarités 07/11/2020 EMI 2020/2021 126 Les non-linéarités géométriques qui se manifestent dans les problèmes des grands déplacements. Sur le plan mathématique, les non-linéarités géométriques font que le domaine d'intégration, est désormais une inconnue du problème Lorsqu’elles sont la seule source de non-linéarités, on les rencontre en pratique dans deux familles de systèmes : • Les mécanismes en grands déplacements : on regroupe dans cette famille tous les systèmes composés de solides rigides liés entre eux par des liaisons. Les non-linéarités proviennent de grandes rotations des composants du système les uns par rapport aux autres, qui créent des relations non linéaires entre les efforts de liaison et les déplacements des solides L’exemple le plus simple est le pendule pesant. Dans ce cas, c’est la force de rappel (le poids) qui est non linéaire en fonction de l’angle d’inclinaison du pendule (F = mg sin θ), terme responsable des non-linéarités de l’équation du mouvement : Définition des non linéarités 07/11/2020 EMI 2020/2021 127 Les non-linéarités géométriques • Les structures minces en grands déplacements : dans ce cas, il s’agit de la même cause de non-linéarité que pour les mécanismes : ce sont des rotations d’amplitude non négligeable des fibres déformables composant la structure qui créent des relations non linéaires entre les déplacements et les déformations des points de la structure. Généralement les non linéarités géométriques sont liés aux structures minces à cause de leur faible raideur (*) transversale, qui autorise des grands déplacements pour des efforts usuels modérés. À l’opposé, des structures « massives » sont trop rigides dans toutes les directions, ce qui empêche en pratique l’apparition de grands déplacements et donc la manifestation des non-linéarités géométriques. L'exemple illustre le cas d'une poutre encastrée à une de ses extrémités et subissant un moment fléchissant à son autre extrémité dans le cas des grandes déplacements. Grandes déplacements (*):la raideur : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module de Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les structures et les composants : une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ; Définition des non linéarités 07/11/2020 EMI 2020/2021 128 Les non-linéarités géométriques • D’autre cas pratiques, importants par leur volume d’applications industrielles, font intervenir les non-linéarités géométriques. Lorsque des non-linéarités matérielles de type élasto-plastique ou élastique non linéaire sont en jeu, elles sont souvent liées à des grands déplacements, si bien qu’il est nécessaire de considérer les non-linéarités matérielles avec les non-linéarités géométriques dans les calculs. Parmi les applications industrielles faisant intervenir de l’élastoplasticité, citons (i) les calculs de mise en forme des matériaux par forgeage, emboutissage etc., (ii) les calculs de crash de véhicules (iii) les calculs de flambage de structures hors du domaine élastique. De plus, les lois de comportement élastiques non linéaires sont caractéristiques des composants en élastomère, très utilisés comme éléments de suspension (« silent uploads/Ingenierie_Lourd/ calcul-assiste-par-ordinateur-module-calcul-de-structure.pdf