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Propagation des Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard Onde

Propagation des Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard Ondes électromagnétiques Révision: 26 mars 2021 (version originale septembre 1997) ATTENTION : pour conserver la possibilité de partager ce document, celui-ci a été placé sous licence Creative Commons by-sa, merci de la respecter. Pour plus d'informations, voir : https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/deed.fr Table des matières Introduction..........................................................................................................................................2 1 Définition d'une onde électromagnétique (OEM).............................................................................2 2 Polarisation d'une OEM ....................................................................................................................4 3 Équation de propagation....................................................................................................................6 3.1 Invariant caractéristique d'une propagation...............................................................................6 3.1.1 Propagation des ondes mécaniques dans un milieu à une dimension................................6 3.2 Équation différentielle caractéristique de la propagation....................................................10 3.2.1) Équation de Jean le Rond d'Alembert........................................................................10 3.2.2 Propriétés des fonctions d'onde...................................................................................12 3.2 Équation de propagation d'une OEM sphérique et loi de décroissance de l'amplitude...........14 3.3 Conservation de l'énergie. Cas d'une OEM sphérique.............................................................15 4 Ondes stationnaires..........................................................................................................................17 4.1 Définition.................................................................................................................................17 4.2 Conditions d'existence d'une onde stationnaire ......................................................................17 4.3 Nœuds et ventres de vibration.................................................................................................18 4.4 Onde stationnaire.....................................................................................................................19 4.4.1 Superposition de deux ondes ...........................................................................................19 4.4.2 Prise en compte de la réflexion aux extrémités................................................................19 4.4.3 Calcul de la résultante......................................................................................................19 4.4.4 Condition de résonance ...................................................................................................21 4.5 Exercices pour comprendre le cours........................................................................................21 Exercice E1 : Onde plane électromagnétique dans le vide...........................................................21 Exercice 2 : Étude d'une onde plane harmonique parfaite se propageant dans le vide .................24 5 Bibliographie...................................................................................................................................26 6. Annexes..........................................................................................................................................27 6.1 : L'équation de la chaleur en coordonnées cylindriques..........................................................27 Étude des échanges dans un cylindre creux long (tube d'échangeur de chaleur)......................27 6.2 : calcul de l'expression de (phi) dans le cas d'un tube cylindrique (isolé de l'extérieur) en équilibre thermique........................................................................................................................29 6.3 Utilisation des complexes avec les ondes................................................................................30 6.3.1 Grandeurs scalaires..........................................................................................................30 6.3.2) Cas des grandeurs vectorielles........................................................................................32 6.4 Interférences lumineuses..........................................................................................................33 6.5 Polarisation elliptique, calcul de la résultante.........................................................................39 page 1/46 Propagation des Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard Introduction Pour transporter de l'information, quelquefois à très grande distance, on utilise les ondes électromagnétiques (notées OEM). Dans l'exemple ci-contre, la source de micro-ondes utilisée est un Klystron, qui émet une onde électromagnétique (qui sera notée OEM) dans la bande X (  de 3,75 cm à 2,5 cm). La longueur d'onde émise annoncée par le fabricant est de 32 mm environ, mais le domaine des OEM est en réalité très important, allant du km au micromètre, et même encore plus petit. À savoir :  pour les micro-ondes est comprise entre 1mm et 30 cm dans une bande de fréquence allant de 1 à 300 GHz environ. 1 Définition d'une onde électromagnétique (OEM) Émission et propagation des ondes électromagnétiques (noté OEM) - Depuis Maxwell (1861), on sait que la lumière est un cas particulier d'onde électromagnétique propageant deux vecteurs transversaux, formant une base directe cf le dessin ci-contre. Notations : on appellera :  E le vecteur champ électrique,  B le champ magnétique et  n la direction de propagation.  E et  B vibrent en quadrature, et les vecteur  c0=c0 n ,  E et  B forment à chaque instant un trièdre direct. - Relation de constitution d'une onde électromagnétique (OEM) :  E= B∧ c0=c0 B∧ e x . La conséquence immédiate de cette relation, c'est que le module de  E est c0 fois plus grand que module de  B , soit ∥ E∥=3.10 8.∥ B∥ ce qui explique que dans certains milieux (les plasmas par exemple), on commence par étudier le comportement de l'OEM en ne tenant compte que de  E au début de l'étude (hypothèse souvent justifiée a posteriori). Remarque 1 : le vecteur champ magnétique, noté  B est en fait un vecteur dit axial, que l'on devrait noter , mais cela poserait des problèmes typographiques, et nous utiliserons la notation vectorielle classique. - Dans la suite, on supposera que dans l'onde émise par une source lumineuse, les vibrations des vecteur  E et  B sont sinusoïdales, de fréquence f, et qu'à un instant donné leur distributions le long page 2/46 E C0 B z y x O Illustration 1: le klystron utilisé dans le TP Propagation des Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard d'un rayon Ox de propagation dessinent deux sinusoïdes de même longueur d'onde , dans deux plans perpendiculaires. Ces sinusoïdes sont en phase et l'on a la relation = c f équation (1) Remarque 2 : on parle souvent de la relation donnée par l'équation (1) comme étant la relation de De Broglie. En fait la formulation exacte de De Broglie était = h p , avec h constante de Planck, et p la quantité de mouvement de la particule. Alors si cette particule est un photon on peut remplacer h par E f et p par E c => = c f qui est la relation le plus souvent connue. Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_de_De_Broglie Ci-dessus, on observe la répartition à un instant t de la distribution spatiale des vecteurs  B et  E . L'onde dessinée progresse vers les x positifs, mais on pourrait imaginer une onde se propageant dans les 2 sens en même temps (la source étant placée en O). - La lumière est de même nature que les ondes décrites par Hertz, dites ondes hertziennes, dans sa célèbre expérience de 1888 après les travaux théorique de Maxwell, mais les fréquences des ondes lumineuses sont beaucoup plus grandes que celles des ondes hertziennes. Depuis la fin du siècle dernier, on a pu étudier et expérimenter dans d'autres domaines des ondes électromagnétiques, classés d'après leur fréquences ou leur longueurs d'ondes dans le vide. Domaines Fréquences (en Hz) Longueur d'onde 0 (dans le vide) ondes hertziennes 2.10 5 à 3.10 11 1500m à 1 mm ondes infrarouges 3.10 11 à 4.10 14 1mm à 0,75m=750nm ondes lumineuses visibles 4.10 14 à 7,5.10 14 750 nm à 400 nm ondes ultraviolettes 7,5.10 14 à 1,5.10 16 400 nm à 20nm=200 ˚ A rayons X 1,5.10 16 à 6.10 19 200 ˚ A à0,05 ˚ A=5 pm rayons  6.10 19 à 10 21 5pm à 0,3 pm page 3/46 Illustration 1 : André Lecerf Propagation des Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard rayons cosmiques supérieures à 10 21 inférieures à 0,3 pm - Principe de relativité restreinte (Einstein) : la célérité dans le vide c0 est la même pour toutes les ondes électromagnétiques, et vaut c0=299792458m/s que l'on prend souvent égale à 3.10 8m/s (cette valeur nous sert depuis 1983 à définir le mètre étalon). - la célérité d'une onde dans un milieu transparent, c est toujours plus petite que c0 . On définit l'indice de réfraction n du milieu par la relation : n=c0 c (équation 2) et on a toujours n1 . - la longueur d'onde dans un milieu transparent est définie par : = c f = c0 nf =0 n Remarque : si on calcule  0 = c f c0 f = c c0 le résultat ne semble pas dépendre de f, or ce résultat est trompeur car la sensation colorée dépend de f, et non de la longueur d'onde . Ce point est facilement vérifiable en regardant de la lumière perçue comme rouge en regardant la source sous l'eau dans une piscine : la longueur d'onde dans l'eau a été modifiée, mais pas la fréquence et pas la couleur perçue non plus, ce qui signifie bien que la sensation colorée est liée à la fréquence. 2 Polarisation d'une OEM Les ondes hertziennes diffèrent des ondes lumineuses par la façon dont elles sont émises : - un émetteur radioélectrique envoie dans l'espace une onde entretenue polarisée, ce qui signifie que par rapport au rayon de propagation, une direction est privilégiée pour le vecteur  E , et une autre pour le vecteur  B . Le champ électrique  E est parallèle à l'antenne émettrice, et l'antenne réceptrice doit être placée parallèlement à ce champ  E pour le capter au mieux. Définitions : on appelle plan d'onde le plan contenant  E et  B , et plan de polarisation le plan contenant  E et  n (donc  E et  c0 ). Et comme ∥ E∥=3.10 8∥ B∥, on imagine facilement que le plan d'onde est le plan représentatif d'une onde qui se propage. page 4/46 Illustration 2: André Lecerf Propagation des Ondes Électromagnétiques Auteur du document : Eric Bachard - une source de lumière naturelle monochromatique ( qui ne contient qu'une seul longueur d'onde  ) comprend un grand nombre d'émetteurs (les atomes) qui envoient des trains d'ondes amortis, incohérents entre eux. À un instant donné, les ondes qui proviennent de l'émission des atomes de la source ont la même fréquence f (monochromatique = 1 couleur = 1 fréquence), mais les phases des trains d'ondes et leur plan de polarisation sont distribués au hasard. Compte tenu du très grand nombre d'atomes émettant simultanément, l'onde résultante n'est pas polarisée (par compensation) et il existe une symétrie de révolution des  E et des  B autour du rayon de propagation. - une source de lumière cohérente, du type laser, ressemble plus à un émetteur d'ondes hertziennes : par une interaction convenable entre les atomes de la source, le train uploads/Ingenierie_Lourd/ ch06-oem-equations-propagation-ericb-1.pdf