Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2019 \ Exercice I 6 p

Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2019 \ Exercice I 6 points Commun à tous les candidats La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée M. Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L’un, dans la partie A, utilise une suite; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note Tn la température du café à l’instant n, avec Tn exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi T0 = 80. On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n +1 par l’égalité : Tn+1 −Tn = k (Tn −M) où k est une constante réelle. Dans la suite de la partie A, on choisit M = 10 et k = −0,2. Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : Tn+1 −Tn = −0,2(Tn −10). 1. Le café est chaud au départ, dans une pièce dont la température est fraiche; le café va refroidir et sa température va aller vers celle de la pièce, donc la suite est décroissante. 2. Pour tout n, Tn+1 −Tn = −0,2(Tn −10) ⇐ ⇒Tn+1 = Tn −0,2(Tn −10) = 0,8Tn +2 . 3. On pose, pour tout entier naturel n : un = Tn −10. a. Pour tout n, un+1 = Tn+1 −10 = 0,8Tn + 2 −10 = 0,8Tn −8 = 0,8(Tn −10) = 0,8un donc un+1 = 0,8un . La suite (un) est géométrique, de raison q = 0,8 et de premier terme u0 = T0−10 = 80−10 = 70. b. On en déduit que, pour tout n, un = u0qn = 70×0,8n donc, comme un = Tn−10 ⇐ ⇒Tn = un +10, on a donc Tn = 70×0,8n +10 . c. −1 < 0,8 < 1 donc lim n→+∞0,8n = 0 et aussi lim n→+∞70×0,8n = 0 d’où lim n→+∞Tn = 10 . 4. On considère l’algorithme suivant : Tant que T ⩾40 T ←0,8T +2 n ←n +1 Fin Tant que a. Au début, on affecte la valeur 80 à la variable T et la valeur 0 à la variable n. On obtient les valeurs 80; 66; 54,8; 45,84; 38,672. À la ﬁn de l’algorithme, n vaut 4. b. Au bout de 4 minutes, la température du café est tombée à 40 ˚C . Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. Partie B Dans cette partie, pour tout réel t positif ou nul, on note θ(t) la température du café à l’instant t, avec θ(t) exprimé en degré Celsius et t en minute. On a ainsi θ(0) = 80. Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que θ est une fonction dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et que, pour tout réel t de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par l’égalité : θ′(t) = −0,2(θ(t)−M). 1. Dans cette question, on choisit M = 0. On cherche alors une fonction θ dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ vériﬁant θ(0) = 80 et, pour tout réel t de cet intervalle : θ′(t) = −0,2θ(t). a. Si θ est une telle fonction, on pose pour tout t de l’intervalle [0 ; +∞[, f (t) = θ(t) e−0,2t . f est un quotient : f ′(t) = θ′(t)×e−0,2t −θ(t)× ¡ −0,2e−0,2t ¢ ¡ e−0,2t¢2 = −0,2θ(t)e−0,2t +0,2θ(t)e−0,2t ¡ e−0,2t¢2 f ′(t) = 0 . b. f (0) = 80 1 = 80. Puisque f ′(t) = 0 pour tout t, f est constante, donc, pour tout t, f (t) = f (0) = 80 d’où θ(t) = 80e−0,2t . c. θ(0) = 80 et θ′(t) = 80× ¡ −0,2e−0,2t ¢ = −0,2θ(t) donc θ est solution du problème. 2. Dans cette question, on choisit M = 10. On admet qu’il existe une unique fonction g dérivable sur [0 ; +∞[, modélisant la température du café à tout instant positif t, et que, pour tout t de l’intervalle [0 ; +∞[ : g(t) = 10+70e−0,2t, où t est exprimé en minute et g(t)en degré Celsius. Une personne aime boire son café à 40 °C. g est dérivable; g ′(t) = 70× ¡ −0,2e−0,2t ¢ = −14e−0,2t < 0 donc g est strictement décroisante sur [0 ; +∞[. • g est continue (dérivable donc continue ou somme, produit et composée de fonctions continues) • g(0) = 80 > 40 • lim t→+∞g(t) = 10 < 40 car lim t→+∞(−0,2t) = −∞donc lim t→+∞70e−0,2t = lim T →−∞70eT = 0. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(t) = 40 a au moins une solution. Comme la fonction est décroissante, cette solution est unique; on la note t0. À la calculatrice, on trouve t0 = 4,236 (min), donc environ 4 min 14 s. Le café est à une température de 40˚au bout de 4 min 14 s environ. Exercice II 4 points Commun à tous les candidats Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre afﬁrmations est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à l’afﬁrmation exacte. Il est attribué un point si la lettre correspond à l’afﬁrmation exacte, 0 sinon. Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé ³ O ; − → ı , − → , − → k ´ de l’espace. Les quatre questions sont indépendantes. Aucune justiﬁcation n’est demandée. Asie Page 2/9 20 juin 2019 Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. 1. On considère le plan P d’équation cartésienne 3x +2y +9z −5 = 0 et la droite d dont une repré- sentation paramétrique est :    x = 4t +3 y = −t +2 z = −t +9 ,t ∈R. Afﬁrmation A : l’intersection du plan P et de la droite d est réduite au point de coordonnées (3; 2; 9). M(x ; y ; z) ∈P∩d ⇐ ⇒            x = 4t +3 y = −t +2 z = −t +9 3x +2y +9z −5 = 0 ⇐ ⇒            x = 4t +3 y = −t +2 z = −t +9 3(4t +3)+2(−t +2)+9(−t +9)−5 = 0 ⇐ ⇒            x = 4t +3 y = −t +2 z = −t +9 t +89 = 0 ⇐ ⇒            x = −353 y = 91 z = 98 t = −89 . L’afﬁrmation est fausse Afﬁrmation B : le plan P et la droite d sont orthogonaux. Un vecteur normal au plan P est − → n   3 2 9  . Un vecteur directeur de d est − → u   4 −1 −1  . − → u et − → n ne sont pas colinéaires donc d et P ne sont pas orthogonaux. L’afﬁrmation B est fausse Afﬁrmation C : le plan P et la droite d sont parallèles. − → n ·− → u = 3×4+2×(−1)+9×(1) = 12−2+9 ̸= 0 donc − → u n’est pas orthogonal à − → n , vecteur normal à P ; le plan P et la droite d ne sont pas parallèles. L”afﬁrmation C est fausse. Afﬁrmation D : l’intersection du plan P et de la droite d est réduite au point de coordonnées (−353 ; 91 ; 98). Vrai, puisque l’on a trouvé les coordonnées du point d’intersection pour la première afﬁrma- tion. 2. On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K déﬁnis par les égalités vectorielles : − → AI = 3 4 − − → AB, − → DJ = 1 4 − − → DC, − − → HK = 3 4 − − → HG. Asie Page 3/9 20 juin 2019 Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P. A B C D E F G H b b b I J K b b L M On cherche la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) : On trace le segments [IJ] et [JK]. Le plan (ABC) est parallèle au plan (EFG); le plan (IJK) coupe ces deux plans selon deux droites parallèles, donc on trace le segment [KL], parallèle au segment [IJ]. De même, le plan (IJK) coupe les plans parallèles (ABF) et (DCG) selon deux droites parallèles; on trace alors le segment [IM], parallèle au segment [JK]. On trace alors [KL]. La section du cube par uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-s-asie-20-juin-2019.pdf