19 CORRIGE TD n°4 EXERCICE 1 : les trous d’Young On considère une onde plane mo

19 CORRIGE TD n°4 EXERCICE 1 : les trous d’Young On considère une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ=656,3 nm, se propageant le long de l’axe Oz. On intercale sur le trajet de cette onde un écran percé de deux trous de dimension négligeables, écartés d’une distance a, comme représenté sur la figure ci-dessous. Chaque trou peut être considéré comme une source ponctuelle émettant un champ électrique d’amplitude E0. On place un écran à une distance D. On observe la figure d’interférence au point P situé sur l’écran, à la côte x. La distance D est beaucoup plus grande que l’écart a et que la côte x. 1. Ecrire l’expression de la différence de marche, ainsi que la différence du trajet (2) par rapport au trajet (1) en fonction de D, a, x, λ. 2. Calculer l’interfrange. 3. Faire les applications numériques pour D=2m, a=2mm et x=10cm. CORRECTION 1. Soit H le projeté orthogonal de S1 sur S2H. D’après le théorème de Malus, la différence de marche 21 2 sin S H a δ θ = = . Or tan / x D θ = et . a D  On en déduit que 1 θ  et donc que tan sin θ θ θ   . Ce qui nous donne que 21 2 / S H ax D δ = = . Le déphasage nous est donné par : 21 21 2 2 ax D π π ϕ δ λ λ = = . 2. On obtient l’interfrange lorsque ai D λ = soit D i a λ = . 3. L’interfrange est donc de 0,632 mm. 20 EXERCICE 2 : Interfrange On réalise une expérience d’interférences avec des fentes d’Young dans l’air. On obtient un interfrange i0= 2 mm. Le dispositif est ensuite immergé totalement dans de l’eau d’indice n = 4/3. Quelle est la nouvelle valeur de l’interfrange ? CORRECTION La différence de marche dans doit être multipliée par l’indice optique de l’eau donc le déphasage s’écrit 21 2 nax π δ λ = et donc l’interfrange est 0 i D i na n λ = = . EXERCICE 3 : Interférences à 3 ondes On considère une onde monochromatique plane de longueur d’onde λ = 656,3 nm se propageant le long de l’axe Oz avec une polarisation rectiligne. On place un écran percé de trois trous de dimensions négligeables disposés symétriquement, comme montré sur la figure ci-dessous. Chaque trou peut être considéré comme une source ponctuelle d’amplitude E0 du champ électrique. On place un écran à la distance D, que l’on prendra beaucoup plus grande que l’écartement a des trous. 2 et 1 D m a mm = = . 1. Ecrire l’expression de la différence de marche entre le rayon passant par le trou en +a/2 et le rayon passant par le centre. De même, calculer la différence de marche entre le rayon passant par le trou en –a/2 et le rayon passant par le centre. En déduire les différences de phase des trajets (1) et (2) par rapport à celui issu du trou central O. 2. Calculer l’expression du champ électrique E observé au point P. 21 3. Déduire l’expression de l’éclairement lumineux E au point P. Tracer l’éclairement E en fonction de la position Y. 4. Décrire la figure d’interférences obtenue. Définir l’interfrange i et donner son expression pour le cas étudié ici. Valeur numérique de i. CORRECTION 1. Calculons les différences de marche. D’après le théorème de Malus : 1 sin 2 a OH δ θ = − = − et 2 2 sin 2 a S K δ θ = = . Or tan Y D θ = et Y D  d’où tan sin θ θ θ   et donc 1 2 aY OH D δ = − = − et 2 2 2 aY S K D δ = = 22 On en déduit les différences de phase 1 aY D π ϕ λ = − et 2 aY D π ϕ λ = . 2. Les sources S1 O et S2 sont des sources secondaires cohérentes (c’est un dispositif de division du front d’onde) qui sont déphasées l’une par rapport à l’autre. Pour avoir accès au champ en P, on applique le théorème de superposition si bien que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 exp 1 exp exp E P E i t kr i i ω ϕ ϕ = − + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ où 1 ϕ et 2 ϕ sont les déphasages des rayons (1) et (2) par rapport au rayon qui passe par O. ( ) ( ) ( ) 0 exp 1 exp exp aY aY E P E i t kr i i D D π π ω λ λ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 0 exp 1 2cos aY E P E i t kr D π ω λ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 3. On en déduit l’éclairement E(P). ( ) ( ) ( ) 2 * 2 2 2 0 0 1 2cos 1 4cos 4cos aY aY aY P E P E P E E D D D π π π λ λ λ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = + = + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ( ) 2 2 0 0 2 cos 1 2 1 4cos 4 3 4cos 2cos 2 aY aY aY aY D P E E D D D π π π π λ λ λ λ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + + = + + ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ E En posant aY D π ϕ λ = , ( ) ( ) 2 0 3 4cos 2cos 2 P E ϕ ϕ ⎡ ⎤ = + + ⎣ ⎦ E . 23 4. On a deux séries de franges : une série de franges très brillantes et une série de franges sombres. Entre deux franges très brillantes, on trouve une frange d’éclairement plus faible, entourée par deux franges noires. Toutes ses franges sont perpendiculaires au plan de la figure. On définit l’interfrange par la longueur que l’on trouve entre deux franges très brillantes. On a alors 2 2,623 mm D i a λ = = . EXERCICE 4 : Miroir de Lloyd Le miroir de Lloyd est constitué d’une lame de verre plane opaque utilisée comme un miroir plan. La surface de ce miroir est un rectangle de côtés 15 cm et 5 cm environ ; la planéité de ce miroir est parfaite. Ce miroir épais (pour éviter les déformations), donc lourd, est placé sur un support rigide, installé sur un banc optique indéformable. Il est possible à l’aide de la vis V de régler l’inclinaison de ce miroir par rapport aux rayons incidents. 24 La source S ponctuelle éclaire sous incidence rasante un miroir de Lloyd AB. Cette source est placée à distance a/2 du miroir et la distance source-bord droit du miroir est noté l. L’écran est placé à une distance d au bout du miroir, et permet d’observer les interférences entre le faisceau d’éclairage direct et le faisceau réfléchi par le miroir. 1. Est-ce un dispositif à division du front d’onde ou à division d’amplitude ? 2. Quelles sont les sources secondaires S1 et S2 associées à ce dispositif ? Représenter le champ d’interférences. 3. Déterminer la différence de marche géométrique et la différence de phase. Les sources secondaires sont-elles cohérentes ? synchrones ? en phase ? 4. En déduire l’expression de l’éclairement sur l’écran. Quelle est la forme des franges obtenues ? Peut-on remplacer la source ponctuelle par une fente fine ? 5. On élargit maintenant la fente source. Sa largueur est b répartie également de part et d’autre de la position a/2. En prenant un modèle de fente source qui émet uniformément, exprimer le nouvel éclairement. CORRECTION : 1. Comme il n’existe pas de lame semi-réfléchissante, le dispositif du miroir de Lloyd est un dispositif à division de front d’onde. 2. Pour l’éclairage direct, la source secondaire S1 est identique à la source primaire S. La lumière uploads/Ingenierie_Lourd/ corrige-td4.pdf

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