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BAC II Génie Civil ECOLE SUPERIEURE DES INGENIEURS INDUSTRIELS Notes de cours d

BAC II Génie Civil ECOLE SUPERIEURE DES INGENIEURS INDUSTRIELS Notes de cours destinées aux étudiants de 2ème Bachelier Ingénieur Industriel Prof. Dr. Ir. Gustave MUKOKO K. Docteur en Sciences de l’Ingénieur/ Génie Civil Appartenant à…………………………………………. Année Académique.2016 - 2017 Département de Science de base METHODES NUMERIQUES UNIVERSITE DE LUBUMBASHI BAC II Génie Civil COURS DE METHODES NUMERIQUES ANIMATEURS Responsable académique: Prof. Dr. Ir. Gustave MUKOKO K. Phd en Sciences de l’Ingénieur/ Génie Civil et Environnemental Collaborateurs: Ass. Ir. Eddy BILITU Ir. Ind. en Electromécanique I. PRE-REQUIS: • Algèbre linéaire; • Analyse mathématique; • Informatique : Programmation. II. OBJECTIF L'objet du cours est:  d'introduire le concept de solution numérique approchée de problèmes en physique et mathématique dont la solution analytique n'est pas disponible ou difficile à obtenir. Il s'agit de présenter rigoureusement les fondements des méthodes numériques et de développer une méthodologie scientifique. On insiste aussi sur la complémentarité entre l'approche numérique et analytique. III. CONTENU  Analyse d'erreur : erreurs de modélisation, de troncature, convergence et ordre d'approximation, arithmétique en virgule flottante;  Approximation et interpolation : polynômes de Lagrange, polynômes orthogonaux, bornes d'erreur et convergence;  Intégration et différentiation numériques : méthodes à pas égaux et inégaux, différences centrés et décentrées, techniques récursives et adaptatives;  Résolution d'équations différentielles ordinaires (EDO) : méthodes de Taylor et de Runge-Kutta, méthodes à pas multiples, conditions de stabilité;  Résolution d'équations linéaires : méthodes directes et itératives, notions de complexité, calcul de valeurs propres;  Résolution d'équations non-linéaires : méthodes d'encadrement et de Newton-Raphson, application à des problèmes d'optimisation;  Résolution d'équations aux dérivées partielles (EDP): équation de la diffusion, équation de Laplace et équation des ondes, différences finies et schémas explicites.  Laboratoires utilisant Matlab IV. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES: • F. FILBET. Analyse numérique – Algorithme et étude mathématique. Dunod, 2009. • P. LASCAUX et R. THÉODOR. Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. 1. Méthodes directes. Dunod, 2000. • P. LASCAUX et R. THÉODOR. Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. 2. Méthodes itératives. Dunod, 2000. • A. QUARTERONI, R. SACCO et F. SALERI. Méthodes numériques. Algorithmes, analyse et applications. Springer, 2007. DOI : 10.1007/978-88-470-0496-2. • Franck Jedrzejewski- Introduction aux méthodes numériques. © Springer-Verlag France, Paris 2005, deuxième édition. ISBN-13 : 978-2-287-25203-7 Paris Berlin Heidelberg New York Cours de Méthodes Numériques Introduction aux méthodes numériques Pr. Dr. Ir. Gustave. Mukoko BAC II Génie Industriel Page 3 / 63 V. METHODES PEDAGOGIQUES  30 heures de cours théorique avec remise d’un support de cours (exposé magistral avec diapos);  20 heures de travaux pratiques dirigés (exercices, laboratoires);  25 heures de travaux pratiques encadrés (exercices sur études de cas concrets, sous forme de projet en groupe) VI. EVALUATION  Théorique:  deux interrogations 20 %  examen 30 %  Pratique:  exercices notés 20 %  laboratoire 15 %  compte-rendu de travaux pratiques 15 %. Cours de Méthodes Numériques Introduction aux méthodes numériques Pr. Dr. Ir. Gustave. Mukoko BAC II Génie Industriel Page 4 / 63 SOMMAIRE COURS DE METHODES NUMERIQUES ........................................................................................................ 2 1. INTRODUCTION AUX METHODES NUMERIQUES ................................................................... 6 1.1. INTRODUCTION 6 1.2. DESASTRES ET CALCUL NUMERIQUE 6 1.3. PROBLEMES NUMERIQUES 6 Définition de calcul numérique 7 Généralités sur l’analyse numérique et le calcul scientiﬁque 7 Différentes sources d’erreur dans une méthode numérique 8 1.4. NOTIONS D’ERREUR ABSOLUE ET RELATIVE 8 Evaluation de l’erreur 9 Propriétés de l’erreur 9 1.5. LA MEMOIRE DE L’ORDINATEUR: LE STOCKAGE DES NOMBRES. 9 1.6. LES REGLES DE BASE DU MODELE. 11 1.7. CONDITIONNEMENT ET STABILITE NUMERIQUE. 11 1.7.1. Notion de conditionnement d’un problème. 11 1.7.2. Notion de stabilité numérique. 11 1.8. QUELQUES NOTIONS D’ALGORITHMIQUE 11 1.8.1. Algorithme 11 1.8.2. Codage 12 1.8.3. Efficacité et complexité 13 2. RESOLUTION D’UNE EQUATION f(x) = 0 .................................................................................. 14 2.1. INTRODUCTION 14 2.2. ÉQUATIONS ALGEBRIQUES 15 2.3. LES ALGORITHMES CLASSIQUES 16 2.3.1 Localisation des racines 16 2.3.2 Approximations successives 17 2.3.3 Méthodes d’encadrement 17 2.3.3.1 Méthode de la bissection ou méthode de dichotomie .................................................. 18 2.3.3.2 Méthode de la fausse position ..................................................................................... 19 2.3.4 Méthode ou Théorèmes de points ﬁxes 20 2.3.4.1 Méthode de Newton-Raphson ..................................................................................... 20 2.3.4.2 Méthode de Steffensen ................................................................................................ 22 2.3.5 Méthode de la sécante et variantes 22 2.3.5.1 Méthode de la sécante ................................................................................................. 22 2.3.5.2 Méthode de Müller ...................................................................................................... 23 3. INTERPOLATION POLYNOMIALE ............................................................................................... 24 3.1. INTRODUCTION 24 3.2. METHODE DIRECTE BASEE SUR LA RESOLUTION D’UN SYSTEME LINEAIRE 25 3.3. INTERPOLATION DE LAGRANGE: UNE METHODE ITERATIVE 25 Cours de Méthodes Numériques Introduction aux méthodes numériques Pr. Dr. Ir. Gustave. Mukoko BAC II Génie Industriel Page 5 / 63 3.3.1 Interpolation Linéaire: 25 3.3.2 Interpolation Parabolique: 26 3.3.3 Interpolation de Lagrange: 27 INTERPOLATION DE D’HERMITE 30 3.4. INTERPOLATION DE TCHEBYCHEV 31 3.5. DIFFERENCES DIVISEES 33 3.6. EXERCICES 38 4. DÉRIVATION ET INTÉGRATION NUMERIQUE ........................................................................ 39 4.1. INTRODUCTION 39 4.2. DERIVATION 39 4.3. METHODES NUMERIQUES D’INTEGRATION. 43 4.3.1 Principes généraux 43 4.3.2 Méthode des rectangles 49 4.3.3 Méthode des trapèzes 51 4.3.4 Méthode de Simpson 52 4.3.5 Méthode de Newton-Côtes 53 4.3.6 Méthode de Poncelet 54 5. ÉQUATIONS ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ....................................... 56 5.1. INTRODUCTION 56 5.2. EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS 56 5.3. RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES 57 5.3.1. La méthode d’Euler 58 5.3.2. Méthodes de Runge-Kutta 59 Cours de Méthodes Numériques Introduction aux méthodes numériques Pr. Dr. Ir. Gustave. Mukoko BAC II Génie Industriel Page 6 / 63 1. INTRODUCTION AUX METHODES NUMERIQUES 1.1. INTRODUCTION A l'issue de cet enseignement, les étudiants pourront répondre aux questions suivantes:  Comment approximer ou interpoler une fonction ?  Comment trouver un minimum (ou un maximum) numériquement ?  Comment trouver la solution d'un problème linéaire ou non-linéaire ?  Comment intégrer ou dériver numériquement une fonction ?  Comment résoudre numériquement une équation différentielle ordinaire ?  Comment résoudre numériquement une équation aux dérivées partielles ?  Comment calculer les valeurs propres d'une matrice ? Comment estimer et mesurer la qualité d'une solution numérique ? L'objectif général du cours est l'acquisition de compétences de base en simulation numérique. Cela comporte trois aspects : 1. la maîtrise de méthodes numériques de base, accompagnée d'une compréhension des principes sous-jacents; 2. l'aptitude à l'esprit de rigueur afin de pouvoir valider et estimer la fiabilité d'un résultat numérique; 3. l'implémentation d'une méthode numérique. A l'issue de cet enseignement, les étudiants seront capables de:  distinguer entre réalité physique, modèle mathématique et solution numérique;  comprendre les méthodes numériques et leurs propriétés: précision, convergence, stabilité;  choisir une méthode en tenant compte d'exigences de précision et de complexité;  mettre en œœuvre une méthode numérique;  interpréter de manière critique des résultats obtenus sur un ordinateur. Le cheminement proposé insiste sur le caractère fortement multidisciplinaire des méthodes numériques: analyse, algèbre, algorithmique et implémentation informatique. Face à un problème concret, l'étudiant doit être à même de déterminer s'il convient d'utiliser une méthode numérique. Il doit aussi pouvoir choisir celle qui convient le mieux : conditions de convergence, caractéristiques de coût, de complexité et de stabilité. Il doit être capable d'utiliser ou de programmer des méthodes simples avec des logiciels numériques tels que MATLAB. 1.2. DÉSASTRES ET CALCUL NUMÉRIQUE Voici quelques exemples. de désastres qui ont eu pour cause une mauvaise compréhension et utilisation des algorithmes de calcul numérique. (extrait de la page web http://www.ima.umn.edu/∼arnold/disasters/)  L’erreur de fonctionnement du missile Patriote à Dharan, Arabie Saoudite, le 25 février 1991 qui a causé la mort de 28 soldats américains était la conséquence d’une erreur numérique.  L’explosion de la roquette Ariane 5 juste après son décollage en Guyane, le 4 juin 1996, fut la conséquence d’une erreur d’overﬂow.  L’échouement de la plate-forme pétrolière en Norvège le 23 août 1991, qui eut pour conséquence une perte d’un milliard de dollars, fut le résultat d’une simulation numérique imprécise. 1.3. PROBLÈMES NUMÉRIQUES L’analyse numérique traite de nombreux problèmes de sciences physiques, biologiques, technologiques ou des problèmes issus de modèles économiques et sociaux. Elle intervient dans le développement de codes de calcul (météorologie, physique des particules...), mais aussi dans les problèmes de simulations (aéronautique, industrie nucléaire...) ou d’expérimentations mathématiques. Elle entretient des liens étroits avec l’informatique. Si sa partie théorique relève plus des mathématiques, sa mise en pratique aboutit généralement à l’implémentation d’algorithmes sur ordinateur. Ses méthodes se fondent à la fois sur la recherche de solutions exactes comme dans le cas de l’analyse matricielle ou du calcul symbolique, sur des solutions approchées qui résultent le plus souvent de processus de Cours de Méthodes Numériques Introduction aux méthodes numériques Pr. Dr. Ir. Gustave. Mukoko BAC II Génie Industriel Page 7 / 63 discrétisation comme dans le traitement des équations différentielles. Récemment, l’analyse numérique s’est enrichi des techniques probabilistes comme les méthodes de Monte-Carlo Définition de calcul numérique Nous proposons une déﬁnition formelle de calcul numérique basée sur la déﬁnition de Nick Trefethen (Oxford University):  Le calcul numérique est une discipline qui traite de la conception, l’analyse et l’implémentation d’algorithmes pour la résolution numérique des problèmes mathématiques continus qui proviennent de la modélisation des phénomènes réels.  Cette déﬁnition uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-de-methodes-numeriques-bac-2-ts-esi-unilu-2016-2017-revu.pdf