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SOMMAIRE INTRODUCTION..........................................................

SOMMAIRE INTRODUCTION......................................................................................................................2 1. EUDE THEORIQUE..........................................................................................................3 1.1. Hypothèses..........................................................................................................................3 1.2. Définition............................................................................................................................3 1.3. Etude d’une poutre en porte à faux : Expression de la déformée et calcul de flèche..........3 1.3.1. Eude théorique de la structure.....................................................................................4 1.3.2. Cas général : Détermination de la courbe de flexion élastique...................................8 2. Etude expérimentale..........................................................................................................12 2.1. Matériel utilisé :................................................................................................................12 2.2. 1- Mesure de la déflexion de la poutre en porte à faux en fonction de la longueur..........12 2.2.1. Mode opératoire :......................................................................................................12 2.2.2. Exemple de mesure...................................................................................................13 2.3. Détermination du module d’élasticité...............................................................................15 2.3.1. Mode opératoire :......................................................................................................15 2.3.2. Poutre en acier:..........................................................................................................15 2.3.2.1 Exemple de calcul 2.3.2.2 Commentaire de la courbe........................................................................................16 2.3.2.3 Exploitation des résultats du graphe.........................................................................16 2.3.3. Poutre en laiton:........................................................................................................15 2.3.3.1 Exemple de calcul 2.3.3.2 Commentaire de la courbe........................................................................................16 2.3.3.3 Exploitation des résultats du graphe.........................................................................16 2.3.4. Poutre en aluminium:................................................................................................15 2.3.4.1 Exemple de calcul 2.3.4.2 Commentaire de la courbe........................................................................................16 2.3.4.3 Exploitation des résultats du graphe.........................................................................16 2.4. Courbe de flexion élastique...............................................................................................16 2.4.1. Mode opératoire :......................................................................................................17 2.4.2. Exemple de Mesure :.................................................................................................17 2.4.3. Commentaire du graphe :..........................................................................................18 Conclusion................................................................................................................................19 Travaux Pratiques de R.D.M. INTRODUCTION Parmi les modes de fonctionnement des structures de génie civil, on peut citer la flexion qui est de loin celui le plus rencontré dans les poutres. Dans cette étude, nous allons analyser les déformations de plusieurs poutres en porte en faux travaillant en flexion simple, ce qui nous permettra non seulement de déterminer le module d’élasticité du matériau dont ils sont faits, mais également de tracer les courbes de flexion correspondantes. - 2 - Figure1 : Poutre en porte à faux isostatique Figure2 : Poutre cantilever hyperstatique Travaux Pratiques de R.D.M. 1. ETUDE THEORIQUE 1.1. Hypothèses L’étude se fera par la méthode R.D.M. et par conséquent, les hypothèses sur la structure sont : - Le matériau est homogène et isotrope. - l’hypothèse des petites déformations et petits déplacements. - l’élasticité est linéaire et traduite par la loi de HOOKE. - L’hypothèse de Navier Bernoulli : une section plane et perpendiculaire à la fibre moyenne le demeure pendant et après la déformation. 1.2. Définition On dit d’une poutre qu’elle est en porte à faux lorsque l’une de ces extrémités repose sur un appui (généralement un encastrement en cas d’équilibre statique) tandis que la seconde extrémité reste libre. Les poutres en porte à faux sont des cas particuliers de poutres cantilevers 1.3. Etude d’une poutre en porte à faux : Expression de la déformée et calcul de flèche - 3 - Figure3 F x y f(x) x fmax L a A B x f(x) x fmax L a = L A B x x y F b h 3 12 bh Iz  Figure5 Travaux Pratiques de R.D.M. De manière générale, l’étude se fait en fonction du chargement. Dans le cadre de cette manipulation, nous nous limiterons au cas d’une poutre de longueur L, de section b h  et de module d’élasticité E ; soumise à charge ponctuelle P, placée à une distance a de l’appui encastré. 1.3.1. Etude théorique de la structure Un modèle général de la structure après flexion (déformation) est le suivant : Analyse de la structure - Nombre d’inconnues de liaisons : n = 3 (inconnues de liaison en A : HA, VA, MA) - Nombre d’équations de la statique : m = 3 - dext = m – n = 3 - 3 = 0 Dans l’étude de notre poutre en porte à faux, nous nous intéresserons d’abord au cas particulier a = L - 4 - Figure4 La structure est donc isostatique. Travaux Pratiques de R.D.M. Expression de la déformée L’expression de la déformée f(x) est obtenue par intégration de l’équation différentielle 2 2 ( ) d y M x dx EI  L’intégration de cette équation nécessite la connaissance du moment fléchissant M(x) le long de la poutre : ◦ Calcul du moment fléchissant En utilisant la méthode de droite il vient : 0 ( ) ( ) x L M x F x L     ◦ Intégration de l’équation différentielle. Sur 0 x L   on a donc 2 3 2 2 z z z 1 F C F 2 2 6 ( ) ( ) EI EI EI 2 x x Lx Lx Cx D d y F x L dy y x dx dx                          Donc y(x) est de la forme : 3 z 1 F 2 6 ( ) EI 2 x Lx Cx D y x            C et D sont des constantes d’intégration déterminée par les conditions aux limites Conditions aux limites sur ce tronçon : Puisque nous avons un encastrement à l’appui (section x = 0), alors : 0 (0) 0 x dy dx           et (0) 0 y  De ces conditions aux limites, on déduit les valeurs des constantes d’intégration : C = D = 0 - 5 - Travaux Pratiques de R.D.M. D’où l’expression de la déformée sur le tronçon 0 x a   3 z F ( ) ( ) EI 2 6 2 Lx x y x f x          (1) ◦ Flèche maximale La flèche maximale est obtenue en x = L car en effet, la déformée obtenue est croissante : 2 F 0 0 2 z dy x Lx - x L dx EI            . La flèche maximale fmax est donc atteinte en x = L et cette valeur vaut : 3 3 max F 1 FL ( ) EI 2 6 3EI 2 L f x L f L L              3 max z FL 3EI f  Application : Détermination du module d’élasticité Le module d’élasticité de notre est une caractéristique intrinsèque de la poutre qui dépend du matériau dans le quelle celle-ci est faite. Le module d’élasticité E est donc une constante qui ne dépend pas des sollicitations de la poutre et qui se détermine de manière pratique par la construction du diagramme déformation - contraintes à partir d’essais sur le matériau (loi de Hooke). Toutefois de la relation 3 z FL 3EI f  il est possible de déterminer le module d’élasticité de la poutre étudier en connaissant tous les autres paramètres. En effet, 3 3 FL FL 3EI 3 I f E f    3 z FL 3 I E f  - 6 - φ α = tgφ f = g(F) F f Figure 7 F x y w(b) x W(0) L a A B b x2 x α Figure 8 Travaux Pratiques de R.D.M. Pour un chargement donné F d’une poutre de longueur L et d’inertie z I , on mesure la flèche f au point d’application de la charge et on déduit son module d’élasticité par la relation ci-dessus. D’autre part, en remarquant aussi que 3 3 FL L 3EI 3EI f f F           , que nous pouvons encore écrire sous la forme f F    avec 3 L 3EI        Il vient que le tracé de la courbe f = g(F) est une droite croissante passant par l’origine et de pente . La détermination graphique de la pente  de cette courbe nous permet tout aussi de déduire le module d’élasticité E de notre poutre par la relation 3 L 3 I E   1.3.2. Cas général : Détermination de la courbe de flexion élastique On reconsidère notre structure initiale ci-dessous avec une charge F appliquée à une distance a de l’appui encastré et une distance b de l’extrémité libre. - 7 - Travaux Pratiques de R.D.M. Il s’agit ici pour nous de déterminer l’expression générale de la déformée w(x). L’expression de la déformée w(x) est obtenue par intégration de l’équation différentielle 2 2 ( ) d w M x dx EI  L’intégration de cette équation nécessite la connaissance du moment fléchissant M(x) le long de la poutre : Calcul du moment fléchissant En utilisant la méthode de droite il vient : Pour 2 2 0 ( ) 0 ( ) 0 x a M x Fx x b M x         Intégration de l’équation différentielle : ◦ Equation de la courbe de flexion élastique pour la plage sous charge II avec : 2 0 x a   On a : 2 2 3 2 2 2 2 2 z 2 z z F F ( ) EI 2EI 6EI 2 2 Fx d w dw x C w x x Cx D dx dx         Donc w(x2) et dw dx sont de la forme : 3 2 uploads/Ingenierie_Lourd/ deftiof-1.pdf