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Page 1 sur 5 Collège J. Daguerre Devoir commun Février 2016 Epreuve de Mathémat

Page 1 sur 5 Collège J. Daguerre Devoir commun Février 2016 Epreuve de Mathématiques Durée : 2 heures L’emploi des calculatrices est autorisé. En plus des points prévus pour chaque exercice de l’épreuve, la présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées. Le candidat traitera obligatoirement l’ensemble des exercices sur ses propres copies bien présentées. Page 2 sur 5 Exercice 1 :  3 points ] Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 1) est égal à : 4 5 12 30 1 2) L'écriture scientifique de 65 100 000 est : 3) Si a = 23 ×34×5×7² et b = 27×3²×7×113 alors le PGCD (a ; b) est: 27×34×5×73×113 2×3×5×7×11 4) 4,472135955 5) Pour l'expression est égale à: 6) 5 3 est égal à : sin y cos y tan y Exercice 2 : 3,5 points] 1) Je calcule le PGCD de 405 et 315par l'algorithme d'Euclide : 405 = 1 × 315 + 90 315 = 3 × 90 + 45 90 = 2 × 45 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul, donc PGCD (405 ; 315) = 45 2) a) Nombre total de bénitiers de 12.5 cm : 35 × 9 = 315 Nombre total de bénitiers de 17.5 cm : 15 × 27 = 405 Il y a le même nombre de bénitiers de 12,5 cm par lots. Donc le nombre de lots divise le nombre total de bénitiers. De même, le nombre de lots divise le nombre total de bénitiers de 17.5 cm. Le nombre de lots est donc un diviseur commun à ces deux nombres et on veut le maximum de lots identiques donc le nombre de lots est le PGCD de 405 et 315. Conclusion : Le nombre de lots identiques maximum que l'exploitant pourra réaliser est 45. b) 315 : 45 = 7 Il y aura 7 bénitiers de 12,5 cm, 405 : 45 = 9 Il y aura 9 bénitiers de 17,5 cm. Page 3 sur 5 Exercice 3 :  5 points] 1) p = AB + AC + BC = x + (x + 3) + (x + 6) = 3 x + 9 2) a) 3 x + 9 = 36 3 x = 36 - 9 x = 27 3 x = 9 . b)      AB = 9 cm AC = 9 + 3 = 12 cm BC = 9 + 6 = 15 cm . c) Le côté le plus long du triangle ABC est BC].    BC² = 15² = 225 AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. On a BC² = AB² + AC², donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. d) Le triangle ABC est rectangle en A. cos ABC = AB BC = 9 15 = 0,6 ABC = arccos (0,6) ≈ 53° . Exercice 4 : 3,5 points] 1) a) 78 × 1010 65 × 108 = 13×6 13×5 × 1010-8 = 1,2×10² = 120. En moyenne, un habitant de la planète a utilisé 120 sacs en plastique en 2012. b) Ce nombre est beaucoup moins important que le nombre moyen de sacs en plastique utilisés en France. 2) 350 × 61 × 106 = 35×101 × 61×106 = 2 135 × 101+6 = 2,135×103×107 = 2,135×1010. Vingt-et-un milliards-trois-cent-cinquante-millions de sacs ont été utilisés en France en 2012. Exercice 5:  5,5 points] choisir un nombre de départ ajouter 8 multiplier la somme par le nombre de départ Ajouter 16 au résultat écrire le résultat obtenu. 1. a) b) 2. L’ valuation de cette question tiendra compte des observations et des tapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie. A B C x + 3 x + 6 x Page 4 sur 5 a) Appliquons le programme de calcul à un nombre entier n : (n + 8)×n +16. En développant, on obtient : n² +8n + 16. En factorisant, on obtient : (n + 4)2 qui est bien le carré d’un nombre entier. Amel a raison. b) On résout l’équation (n + 4)² = 25. Les nombres qui ont pour carré 25 sont -5 et 5 d’où :    n + 4 = -5 n + 4 = 5 ,    n = -9 n = 1 Vérification : Les nombres 1 et -9 permettent d’obtenir le nombre 25 Exercice 6 : 6,5 points] On donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et . 1. Reproduire la figure en vraie grandeur 2. Le triangle BCD est rectangle en D. Je connais la mesure de [BD], côté adjacent de CBD, et je cherche la mesure de [BC], hypot nuse du triangle. Donc, j’utilise la formule du cosinus. cos CBD = côté adjacent à CBD hypoténuse = BD BC cos (60°) = 4 BC D’où BC = 4 cos (60°) = 4 0,5 = 8 . [BC] mesure 8 cm. 3. Le triangle BCD est rectangle en B, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : BC² = BD² + CD² 8² = 4² + CD² 64 = 16 + CD² d’où CD² = 64 – 16 = 48. CD = 48 ≈ 6,9 . [CD] mesure 6,9 cm (arrondi au dixième). 4. Le triangle ABC est rectangle en D, donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 d’où AC = 100 = 10 . [AC] mesure 10 cm. 5. Le triangle ABC est rectangle en D, donc tan BAC = côté opposé à BAC côté adjacent à BAC = BC BA = 8 6 = 4 3 Page 5 sur 5 6. On utilise la calculatrice : BAC = arctan (4 : 3) ≈ 53,1° . Exercice 7 :  5 points] 1) On calcule 2h + p, pour cela on commence par calculer la hauteur et la largeur d’une marche : Il y a 6 marches identiques pour une hauteur totale de 96 cm, on a donc h = 96 : 6 = 16. Il y a 5 marches identiques pour une profondeur totale de 55 cm, on a donc p = 55 : 5 = 11. Donc 2h + p = 2 × 16 + 11 = 43 Les normes de construction de l’escalier sont respectées. 2) On suppose que le mur est perpendiculaire au sol donc que ABD est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore, on a : AD² = AB² + BD² = 96² + (55 + 150)² = 96² + 205² = 51 241 d’où AD = 51 241 AD = 226cm La longueur du plan incliné demandé est conforme à la demande des habitués. On calcule la mesure de l’angle ADB d à l’aide de la trigonométrie : tan ADB = AB BD = 96 205 d’où ADB ≈ 25° (arctan ( 96 205)) L’angle formé par le plan incliné est conforme à la demande des habitués. Exercice 8 :  4 points] Année SMIC 2011 9,40 2010 9,00 2009 8,82 2008 8,63 2007 8,44 2006 8,27 2005 8,03 2004 7,61 2003 7,19 2002 6,83 2001 6,67 médiane 1. E = SMICmax – SMICmin = 9,40 – 6,67 = 2,73. Le SMIC horaire brut a augmenté de 2,73 € de 2001 à 2011. 2. La médiane est la valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif. Il y a 11 valeurs dans cette série donc la médiane est donnée par la 6ème valeur : me = 8,27 . 3. Pourcentage d’augmentation en 2002 : 0,16 6,67×100 ≈ 2,40 % . Pourcentage d’augmentation en 2008 :0,19 8,44×100 ≈ 2,25 % . Paul a tort car le pourcentage d’augmentation a été plus élevé en 2002 qu’en 2008. uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-commun-daguerre-3eme-2016-corrige.pdf