DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terri

DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien Devoir Surveill´ e de DdS Dur´ ee : 2h - sans document, sans calculatrice ´ Etude de certaines parties du pont de l’Europe ` a Orl´ eans Nom : Pr´ enom : Groupe : Mise en situation La figure 1.1 est une photo du pont de l’Europe ` a Orl´ eans. Ce pont au design remarquable est l’œuvre de Santiago Calatrava. Nous nous proposons ici d’´ etudier, sous certaines hypoth` eses simplificatrices, quelques uns des ´ el´ ements de ce pont. Fig. 1.1: Photo du pont de l’Europe ` a Orl´ eans Il est demand´ e de r´ epondre directement sur le sujet et de rendre celui-ci ` a la fin de l’´ epreuve sans avoir oubli´ e de compl´ eter l’en tˆ ete avec vos nom, pr´ enom et groupe. Les deux parties du sujet sont totalement ind´ ependantes : il est conseill´ e de consacrer 1h30 ` a la premi` ere partie et 20 minutes ` a la seconde. Dans chaque partie, des r´ esultats interm´ ediaires sont donn´ es permettant de sauter certaines questions si vous ´ eprouvez des difficult´ es. Sachez en tirer parti ! Bon courage 1/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien Nous nous pla¸ cons dans le cas d’une phase de pr´ edimensionnement du tablier du pont (le tablier est la partie du pont sur laquelle circulent les v´ ehicules). Pour les diff´ erentes questions, lorsque c’est possible, une r´ esolution ` a partir d’un isolement et d’un B.A.M.E. graphique proprement pr´ esent´ e est accept´ e. 1.1 ´ Etude en flexion du tablier z x y O A 4L 2L p L L B C Fig. 1.2: Mod´ elisation du tablier pour l’´ etude en flexion On s’int´ eresse ` a la partie centrale du tablier situ´ ee entre les deux piliers principaux. La figure 1.2 repr´ esente le mod` ele choisi pour l’´ etude de flexion. Ainsi on suppose que la poutre ´ etudi´ ee est en articulation en O et en appui simple en C. Le chargement ext´ erieur est celui repr´ esentatif de la tension des cordes sur le tablier, que l’on mod´ elise par une r´ epartition lin´ eique de charge p uniforme et positive comprise entre A et B. La g´ eom´ etrie de la section de la poutre est conforme ` a celle du tablier du pont, et ses caract´ e- ristiques g´ eom´ etriques sont donn´ ees sur la figure 1.3. 1 ˚ ) R´ ealiser l’´ etude statique de la poutre et d´ eterminer les actions m´ ecaniques dans les liaisons en O et C. On v´ erifiera que :  T(Ext.− →poutre(articulation)) =  −pL− → y − → 0  O et  T(Ext.− →poutre(appui−simple)) =  −pL− → y − → 0  C 2/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien R´ eponse 2 ˚ ) On d´ efinit une coupure au point G par l’abscisse x du point G telle que − → OG = x− → x Pour chaque valeur de x v´ erifiant successivement les valeurs suivantes : x ∈[0; L], x ∈[L; 3L] et x ∈[3L; 4L], calculer le torseur des efforts int´ erieurs. On donnera en particulier les valeurs du moment fl´ echissant Mfz1, Mfz2, Mfz3 et de l’effort tranchant Ty1, Ty2, Ty3 associ´ es ` a chacun des intervalles pr´ ec´ edents. R´ eponse pour x ∈[0; L] Ty1 = et Mfz1 = 3/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien R´ eponse pour x ∈[L; 3L] Ty2 = et Mfz2 = R´ eponse pour x ∈[3L; 4L] Ty3 = et Mfz3 = 4/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien 3 ˚ ) Tracer le diagramme de l’effort tranchant et du moment fl´ echissant pour x ∈[0; 4L]. On pr´ ecisera les valeurs remarquables et on d´ eterminera en particulier la valeur extrˆ eme du moment fl´ echissant dont on montrera qu’il vaut : Mfz MAX = −3 2pL2 R´ eponse Ty Mfz 4 ˚ ) La section de la poutre est repr´ esentative de la section du tablier du pont et a une forme dite ”en T”. Une repr´ esentation de la section est donn´ ee sur la figure 1.3. En d´ ecomposant la section en deux sections ´ el´ ementaires montrer que IGz : moment quadratique de la section par rapport ` a l’axe − → z vaut : IGz = eh3 12 + beh2 4 Pour l’une des deux sections ´ el´ ementaires, on pourra utiliser directement un r´ esultat vu en cours, pour l’autre, l’int´ egration est obligatoire, et l’on n´ egligera apr` es int´ egration les termes de degr´ es 2 et 3 en e par rapport aux termes de degr´ e 1 en e. R´ eponse z y x G b h h/2 e e Fig. 1.3: Section de la poutre 5/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien 5 ˚ ) D´ eterminer la valeur de la contrainte maximale en fonction de p, L, e, b, h. On rappellera l’hypoth` ese usuelle qui conduit ` a ne calculer qu’une des deux contraintes existantes en flexion simple. R´ eponse On s’int´ eresse maintenant au calcul de la fl` eche maximale de la poutre. 6 ˚ ) Justifiez le fait qu’on ne s’int´ eresse qu’` a la moiti´ e de la poutre en imposant qu’au milieu de la poutre, la tangente ` a la d´ eform´ ee est horizontale (ie, on impose que la d´ eriv´ ee de la fl` eche en x = 2L est nulle). R´ eponse Compte tenu des r´ esultats d´ etermin´ es pr´ ec´ edemment on est donc amen´ e ` a traiter le probl` eme suivant. – Pour la premi` ere coupure, x ∈[0; L], le moment fl´ echissant vaut : Mfz1 = −pLx, la fl` eche associ´ ee sera not´ ee v1(x). – Pour la deuxi` eme coupure, x ∈[L; 2L] (on ne prend en compte que la moiti´ e de la poutre), le moment fl´ echissant vaut : Mfz2 = p(x2 2 −2Lx + L2 2 ), la fl` eche associ´ ee sera not´ ee v2(x). 7 ˚ ) D´ eterminer par int´ egration les deux fonctions v1(x) et v2(x) : on notera A1, B1 les constantes intervenant dans l’expression de v1(x) et A2, B2 celles intervenant dans l’expression de v2(x). R´ eponse EIGzv1(x) = EIGzv2(x) = 6/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien 8 ˚ ) On rappelle qu’on impose v ′ 2(2L) = 0, quelles sont les autres conditions aux limites qu’il faut ´ ecrire permettant de d´ eterminer A1, B1, A2 et B2 R´ eponse 9 ˚ ) D´ eterminer les constantes A1, B1, A2 et B2 et montrer que : v1(x) = pLx (11L2 −x2) 6EIGz et v2(x) = p (L4 + 40xL3 + 6x2L2 −8x3L + x4) 24EIGz R´ eponse 10 ˚ ) En quel point la fl` eche est maximale, et quelle est sa valeur (` a exprimer en fonction de p, L, E et IGz) ? R´ eponse 7/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ e de DdS P.A. Boucard, C. Kalck, N. Terrien 1.2 ´ Etude en flexion/torsion des goujons de fixation des cˆ ables Pour fixer les cˆ ables sur le tablier, une solution envisag´ ee est d’utiliser des paires de cˆ ables reli´ es ` a des axes creux. Les cˆ ables sont fix´ es sur les axes par l’interm´ ediaire des rainures pr´ esent´ ees sur la figure 1.4. Compte tenu du mode de fixation des cˆ ables, l’axe est suppos´ e ˆ etre soumis ` a des sollicitations de flexion pure et de torsion caract´ eris´ ees par : – - un moment de flexion not´ e Mf – - un moment de torsion not´ e Mt Œ$ ŒD Œ$I RAYONR D MM $ MM $I MM R  MM -T -T -F -F Fig. 1.4: Caract´ eristiques du goujon creux 1 ˚ ) Donner en justifiant votre r´ eponse, l’expression de la contrainte nominale en torsion τnom en fonction de Mt et des param` etres g´ eom´ etriques ad´ equats d´ efinis sur la figure 1.4. R´ eponse 2 ˚ ) Donner en justifiant votre r´ eponse, l’expression de la contrainte nominale en flexion σnom en fonction de Mf et des param` etres g´ eom´ etriques ad´ equats d´ efinis sur la figure 1.4. R´ eponse Les graphes propos´ es sur la figure 1.5 sont deux abaques de concentration de contraintes associ´ es aux sollicitations de flexion (graphe du haut) et de torsion (graphe du bas). 8/10 DdS n ˚ 2 25/04/2005 Devoir Surveill´ uploads/Ingenierie_Lourd/ etude-de-certaines-parties-du-pont-de-l-x27-europe-a-orleans.pdf

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