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4 corrige exercice 1 L'exercice qui est proposé consiste à résoudre en appliquant la méthode des caractéristiques le problème de Cauchy pour une équation de transport très proche de celle du cours à laquelle nous avons rajouté un terme d'amortissement c'e

L'exercice qui est proposé consiste à résoudre en appliquant la méthode des caractéristiques le problème de Cauchy pour une équation de transport très proche de celle du cours à laquelle nous avons rajouté un terme d'amortissement c'est le terme en rouge sur l'écran Donc bien sûr le fait que l'équation soit amortie ou pas dépendra du signe de la fonction A et un terme de source que l'on appelle grand S de t et de x À nouveau le fait qu'il y ait une source positive ou négative est possible Donc comme la vitesse v est un vecteur ?xe donné qui ne dépend ni du temps ni de l'espace les courbes caractéristiques sont des droites Donc pour un point y appartient à R N on dé ?nit la courbe caractéristique gamma Y de t est égale à Y plus tv Le vecteur v étant ?xé les courbes caractéristiques sont des droites Et on dé ?nit grand F Y de t est égale à f de t gamma Y de t C'est la valeur de la fonction F le long de la courbe caractéristique au temps t La méthode des caractéristiques consiste à calculer la dérivée par rapport au temps de grand F de Y de t et de constater que on transforme une équation en dérivée partielle en petit f à une équation di ?érentielle ordinaire en grand F ce qui permet de la résoudre plus facilement Donc on calcule la dérivée par rapport au temps de grand F Y de t Il y a deux endroits o? la fonction f et grand F dépend du temps et donc ça donne deux termes dans l'équation dft plus gamma point y scalaire gradient de f le long de la courbe caractéristique En utilisant l'équation de petit f ceci est égal à moins af plus la source grand S le long de la courbe caractéristique Et ?nalement en utilisant que petit f le long de la courbe caractéristique est égal à grand F nous obtenons cette formule pour la fonction grand F y de t Donc dans cette formule la fonction petit a est donnée la fonction grand S est donnée CToutes les fonctions ici ne dépendent que du temps puisque nous sommes sur une courbe caractéristique et donc vous voyez que c'est une équation di ?érentielle ordinaire sur grand F y de t Elle est facile à résoudre Une façon de faire c'est celle que je choisis maintenant c'est d'utiliser la méthode du facteur intégrant Donc je multiplie par l'exponentielle d'une primitive de petit a pour simpli ?er l'équation On obtient la formule suivante d sur dt de l'exponentielle de l'intégrale de zéro à t de a au point s gamma y de s ds multipliée par grand F y de t Donc cette dérivée est égale à l'exponentielle de l'intégrale de zéro à t de a de s gamma y de s ds multipliée par le terme source grand S Donc une fois écrit sous cette forme il est facile