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AMCO 2032 – Calcul organique du béton armé - Exercice_1.rtf – P 1 de [4] AMCO 2

AMCO 2032 – Calcul organique du béton armé - Exercice_1.rtf – P 1 de [4] AMCO 2032 : CALCUL ORGANIQUE DU BETON ARME ____________________________________________________ EXERCICE 1 : EFFORT NORMAL : STRUCTURE EN ARC + TIRANT ARC SANS FLEXION : RUPTURE+CONTRAINTES+FLUAGE TIRANT : RUPTURE + CONTRAINTES 1.Enoncé La structure étudiée est représentée aux figures 1 et 2. Les arcs sont en forme de chaînette (cosinus hyperbolique); des charges uniformément réparties verticales provoquent donc un état de compression simple (sans flexion, ni effort tranchant). On suppose que les arcs sont articulés à leur base. On suppose que les efforts de réactions horizontaux des arcs sont entièrement repris par les tirants. [A] Matériaux: Béton: C30/37 ciment CEM III/A 42.5 Acier: BE 500 BS [B] Actions: On suppose (pour les besoins de l'exercice) que l'arc n'est soumis qu'à des charges verticales uniformément réparties sur toute sa surface. En réalité une structure de ce type sera toujours sollicitée également par des charges disymétriques et des efforts horizontaux (vent, ...). (1) Actions permanentes: - Poids propre de la structure - Poids propre de la toiture g = 0,5 KN/m2 uniformément répartie. (2) Actions variables: -Charge uniformément répartie q = 2 KN/m2 (ψ0= ψ1=0,7 ; ψ2=0,4) Source: www.almohandiss.com AMCO 2032 – Calcul organique du béton armé - Exercice_1.rtf – P 2 de [4] 2.Questions: [A] Quels sont les valeurs des charges linéaires qui sollicitent les arcs ? (pour les différentes combinaisons ELU et ELS) [B] Quels sont les grandeurs des efforts normaux sollicitants dans les sections situées - au pied de l'arc - à la clé de l'arc - dans le tirant et les réactions verticales sur les fondations. pour les combinaisons suivantes : - Etat-limite ultime (combinaison fondamentale) - Etat-limite de service (combinaison rare, fréquente et quasi-permanente) [C] Quel sera le raccourcissement de l'arc sous l'effet du retrait hydraulique à long terme ? (On suppose une humidité relative de RH=50%) et un ciment à prise normale (Beta_sc=5). [D] Quel sera le coefficient de fluage final (temps infini) de l'arc si l'on suppose que toutes les charges sont appliquées à 28 jours ? [E] Quel sera le raccourcissement instantanée et à long terme (temps infini) de l'arc sous l'effet de la combinaison quasi-permanente des charges, en supposant un effort moyen dans l'arc N_moyen = (N_pied +N_cle)/2 ? [F] Quels sont les contraintes maximales en service à court terme et à long terme dans l'arc ? (contraintes dans le béton et dans les armatures). [G] Quel est l'effort normal résistant à l'état-limite ultime de l'arc ? [H] Quelle quantité d'armatures faut-il prévoir dans les tirants pour satisfaire aux conditions de résistance à l'état-limite ultime. [I] Quelle sera la déformation maximum en service du tirant ainsi dimensionné (ELS Rare) si l'on suppose le tirant entièrement fissuré ? [J] Comment pourrait-on éviter de telles déformations ? Source: www.almohandiss.com Source: www.almohandiss.com AMCO 2032 – Calcul organique du béton armé - Exercice_1.rtf – P 3 de [4] Source: www.almohandiss.com Source: www.almohandiss.com CORRIGE.1_DZ-2004.doc AMCO 2032 Calcul organique du béton armé –– J-F Cap et D. Zastavni – p1 de [9] AMCO 2032 - CALCUL ORGANIQUE DU BÉ TON ARMÉ - CORRIGE EXERCICE 1 : EFFORT NORMAL : STRUCTURE EN ARC + TIRANT ARC SANS FLEXION : RUPTURE + CONTRAINTES + FLUAGE TIRANT : RUPTURE + CONTRAINTES [A] Charges linéaires sur les arcs poids volumique du béton armé = 25 kN/m³ poids propre : [1 . 0,8] - [ 0,76 . 0,56] . 25 kN/ m³ = 9,36 kN/m entretoises : [0,6 . 0,2 . 25 kN/m³] . 10 m = 30 kN/ pièce 1 pièce / 5m => 30 kN/5m = 6 kN/m toiture : 0,5 kN/m² . 10m d’entr’axe = + 5 kN/m Total permanent = Gk = = 20,36 kN/m Charge répartie = Qk, 1 = 2 kN/m² . 10 m d’entr’axe = 20 kN/m Dans la démarche du calcul aux états limites et qui est suivie dans ce cours, deux vérifications auront lieu successivement dans la procédure de dimensionnement : les calculs à la rupture : vérification d’Etats Limites Ultimes [ E.L.U.] les calculs en service, c’est-à-dire dans le domaine d’utilisation habituel de la structure, souvent pour des questions de déformation : Etats Limites de Service [E.L.S.] Deux grands types de combinaisons aux ELU existent : - les combinaisons fondamentales, établies pour les sollicitations habituellement rencontrées par la structure, ne tenant pas compte de charges accidentelles. - les combinaisons accidentelles, établies pour des cas exceptionnels pour un structure (séismes, explosions, incendies, tornades, …) L’expression de la combinaison fondamentale ELU prend la forme suivante : les coefficients ‘k’ étant là pour rappeler qu’il s’agit de valeurs caractéristiques, avec : Gk les actions permanentes (poids propres, finitions) Pk précontrainte Qk, 1 action variable principale Qk, i action variable d’accompagnement γx coefficients de sécurité partiels i k i i k Q Q , , 0 1 i Q, 1 , 1 Q, k P k G P G ψ γ γ γ γ ∑ > + + + ► Source: www.almohandiss.com Source: www.almohandiss.com CORRIGE.1_DZ-2004.doc AMCO 2032 Calcul organique du béton armé –– J-F Cap et D. Zastavni – p2 de [9] ψ0, i coefficients partiels de combinaison (ψ0 valeur de combinaison ; ψ1 valeur fréquente, ψ2 valeur quasi-permanente) Dans le cas d’une seule charge variable, et en l’absence de précontrainte, et de charges accidentelles, l’ensemble de ces combinaisons se réduit une seule expression simplifiée : = 1,35 Gk + 1,5 Qk, 1 au cas où la charge principale a bien un effet négatif sur les contraintes Le choix d’une valeur maximale ou minimale sera fonction du type de sollicitation qu’elle exercera sur la structure : Si la charge a un effet bénéfique sur l’équilibre du système ou sur une contrainte donnée, c’est une valeur de γ minimale sera choisie pour être du côté de la sécurité sur son rôle stabilisant. Si la charge se contente de solliciter la structure de manière négative, la valeur choisie pour γ sera maximale. Le dimensionnement par rapport à toutes ces combinaisons ELU consistera à vérifier que les sollicitations [Sd] qu’elles induisent restent inférieures à la résistance [Rd ] de la structure. (indice ‘d’ pour valeurs de design) Lorsque l’on va s’intéresser aux conditions auxquelles sera soumise la structure aux états de services [ELS] plusieurs cas de figure seront possibles : - toutes les charges sont présentes simultanément : un pont avec embouteillage par vent de force 8 lorsqu’il y a de la neige, par exemple, ce qui est une situation relativement rare [ELS rare] et qui pourrait servir à calculer la sollicitation maximale que peut rencontrer une structure en service. - les charges permanentes et un %tage des charges d’exploitation seront présentes la plupart du temps (le pont avec en moyenne une vingtaine de voitures dessus): ELS quasi permanent. Cette combinaison pouvant servir à calculer les déformations dues au fluage. - il arrivera fréquemment que mon pont soit encombré de… ELS fréquent. Différents types de combinaisons d’état limite de service seront donc employées selon le type de vérification en service auquel on compte procéder. ¯ ELU = γG Gk + γQ, 1 Qk, 1 = 1,35 . 20,36 + 1,5 . 20 = 57,486 kN/m ELS rare = Gk + Qk, 1 = 20,36 + 20 = 40,36 kN/m ELS fréq = Gk + ψ1, 1 Qk, 1 = 20,36 + 0,7 . 20 = 34,36 kN/m ELS q.p. = Gk + ψ2, 1 Qk, 1 = 20,36 + 0,4 . 20 = 28,36 kN/m + 1 , 1 Q, k G G k Q γ γ Source: www.almohandiss.com Source: www.almohandiss.com CORRIGE.1_DZ-2004.doc AMCO 2032 Calcul organique du béton armé –– J-F Cap et D. Zastavni – p3 de [9] [B] Sollicitations ELU pour une charge linéaire unitaire, - tirant : - 43 kN (donné = réaction horizontale) - clef = - tirant = 43 kN - pied de l’arc = combinaison vectorielle = 2 2 N R + = 63 kN - effort moyen dans l’arc = 2 clef pied + = 53 kN Les valeurs ELU et ELS valant le produit des valeurs des charges par mètre courant (cf. [A]) par les valeurs ci- dessus : combinaisons Q [kn/m] Arc Tirant Réaction N pied N clef N moyen N tirant Rv cas unitaire [1 KN/m] 1 63 43 53 -43 46 permanent 20,36 1282 875 1079 -875 937 variable 20 1259 860 1060 -860 920 ELU 57,486 3620 2472 3046 -2472 2644 ELS rare 40,36 2541 1735 2138 -1735 1857 ELS f 36,36 2164 1477 1821 -1477 1581 ELS QP 28,36 1786 1219 1503 -1219 1305 [C] Retrait avant toute chose, consultons le tab.3.9 donnant des valeurs approchées pour le retrait εcs0 . Pour ce faire, nous avons besoin du rayon moyen h0 de la section. Dans le cas d’un voile soumis à l’atmosphère à ses deux faces, le rayon moyen vaut l’épaisseur. L’épaisseur valant 120 mm, cette première valeur peut être employée pour h0. Si nous repassons par la formule exacte, Ac valant l’aire de la section u valant le périmètre EN CONTACT AVEC L’ATHMOSPHERE. uploads/Ingenierie_Lourd/ exercices-corriges-1-pdf.pdf