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Exercices Loi Binomiale 2015. Dans un lot de ceps de vignes, 10% des ceps sont

Exercices Loi Binomiale 2015. Dans un lot de ceps de vignes, 10% des ceps sont endommagés. Soit X la variable aléatoire déﬁnissant le nombre de ceps endommagés sur un lot de 30 ceps. 1) Quel modèle suit la variable aléatoire ? Justiﬁer . 2) Quelle est la probabilité pour que 10 ceps soient endommagés ? 3) Quelle est la probabilité pour que tous les ceps soient endommagés ? 4) Quelle est la probabilité pour que 5 ceps au moins soient endommagés ? 5) Quelle est la probabilité pour que les ceps endommagés soient compris entre 7 et 9 (bornes inclues) ? EXERCICE 1 On admet que lorsqu’on plante un conifère sur un sol limono-argileux, la probabilité que ce conifère dépérisse est de 5 % et que les résultats des plantations sont indépendants les uns des autres. On plante 10 conifères sur un sol de ce type. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de conifères qui dépérissent. Dans la suite, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10−3 près. 1) Montrer que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,05. 2) Calculer la probabilité que, sur une plantation de 10 conifères, il y en ait 2 qui dépérissent. 3) Calculer la probabilité que, sur une plantation de 10 conifères, il y en ait 2, au maximum, qui dépérissent. EXERCICE 2 Une cage contient 15 souris de la même couleur : 6 souris mâles et 9 souris femelles. On considère que chaque souris a la même probabilité d’être choisie. On tire 5 souris au hasard. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de souris mâles dans les 5 tirées. 1) Présenter la loi de probabilité de X. 2) Calculer la moyenne et l’écart-type de cette distribution. 3) Calculer la probabilité pour avoir au plus 2 mâles. 4) Calculer la probabilité pour avoir au moins un mâle . 5) Calculer la probabilité pour avoir exactement 4 femelles. EXERCICE 3 Les résultats des probabilités seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10−3 près. Un jardinier sème dix graines d’une même plante exotique dans des conditions identiques. La probabilité de germination de chaque graine de cette plante est 0,3. Les germinations sont supposées indépendantes. On note X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de graines qui germent parmi les dix semées. 1) Justiﬁer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Calculer la probabilité que cinq graines exactement germent. 3) Calculer la probabilité que toutes les graines germent 4) Calculer la probabilité d’obtenir d’obtenir au moins 5 germinations. 5) Calculer la probabilité d’obtenir entre 3 et 5 germinations (bornes inclues). EXERCICE 4 Une fromagerie artisanale a mis au point un nouveau fromage aux herbes. Avant le lancement sur le marché, une enquête est réalisée sur le goût et l’odeur de ce fromage. On suppose que cette fromagerie produit 17% de fromages à odeur forte et au goût épicé. Un technicien teste au hasard et avec remise 20 fromages. On note X la variable aléatoire égale au nombre de fromages ayant une odeur forte et un goût épicé parmi les 20 fromages testés. 1) Justiﬁer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10−3 près. Quelle est la probabilité que parmi les 20 fromages : EXERCICE 5 1 2.1) il n’y ait aucun fromage à odeur forte et au goût épicé ? 2.2) il y ait exactement un fromage à odeur forte et au goût épicé ? 2.3) il y ait au moins deux fromages à odeur forte et au goût épicé ? On s’intéresse au chantier de construction d’un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d’une ﬂotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. La réalisation de l’ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton. On note E l’évènement : « un camion-benne pris au hasard dans la ﬂotte n’a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. » On suppose que la probabilité de l’évènement E est 0,9. On prélève au hasard 10 camions-benne dans la ﬂotte pour les aﬀecter à une zone de chantier. Le nombre de camions-benne de la ﬂotte est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne. On désigne par Z la variable aléatoire qui à tout prélèvement de ce type associe le nombre de camions-benne n’ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois de chantier. 1) Justiﬁer que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des 10 camions-benne n’ait de panne ni de sinistre pendant le premier mois de chantier. EXERCICE 6 Un revendeur de matériel photographique désire s’implanter dans une galerie marchande. Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils photographiques par jour et que les ventes sont deux à deux indépendantes. Une étude lui a montré que, parmi les diﬀérentes marques d’appareils disponibles, la marque A réalise 38,6% du marché. On note X la variable aléatoire qui, à un jour tiré au hasard, associe le nombre d’appareils de la marque A vendus ce jour-là. 1) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres. 2) Calculer la probabilité que, sur 40 appareils vendus par jour, 20 soient de la marque A. On en donnera une approximation décimale à 10−2 près. 3) Calculer l’espérance mathématique à 10−2 près et l’écart type à 1 près de la variable X. EXERCICE 7 Dans une pépinière, 95% des scions sont supposés sans virus. Par commodité, les scions sont rangés par paquets de 2. Un paquet est dit sain si les 2 scions qui le composent sont sans virus. 1) Quelle est la probabilité p d’avoir un paquet sain ? Donner p avec 2 chiﬀres signiﬁcatifs. 2) Soit X le nombre de paquets sains sur un lot de 10 paquets. Quelle est la loi de X ? 3) Un lot de 10 paquets, soit 20 scions est accepté par l’acheteur si au moins 9 paquets sont sains. Quelle est la probabilité pour qu’un lot soit accepté ? 4) Le pépiniériste décide de faire des paquets de 4 scions. Un paquet sera sain si les 4 scions sont sans virus. Un lot de 5 paquets, soit 20 scions est accepté par l’acheteur si au moins 4 paquets sont sains. Quelle est la probabilité pour qu’un lot soit accepté ? Le choix du pépiniériste est-il justiﬁé ? EXERCICE 8 Dans une caisse nous avons placé 50 grappes de raisin dont 4 sont encore vertes. On prélève un échantillon de 4 grappes. Soit X la variable aléatoire déﬁnissant le nombre de grappes encore vertes. 4) Justiﬁer la loi de X 5) Calculer la probabilité qu’aucune grappe ne soit encore verte. 6)Calculer la probabilité que moins de 2 grappes soient de couleur vertes. On prélève maintenant un échantillon de taille n=31. EXERCICE 9 2 7) Montrer qu’une approximation à l’aide de la loi de Poisson est raisonnable. 8) Calculer alors P(X < 3) et P(X = 10). Un paquet de graines de potiron contient 12 graines. Le pouvoir germinatif de chacune des graines est 0,8 (la probabilité qu’une graine mise en condition germe est de 0,8). 1) On sème 8 graines. Quelle est à 10−3 près la probabilité pour que : 1.1) 5 graines exactement germent ? 1.2) Au moins 7 graines germent ? 2) Quand une graine est germée, la probabilité pour que les limaces détruisent le jeune plan est 0,5. 2.1) Calculer la probabilité pour qu’une graine semée donne un plan bon à repiquer. 2.2) Combien devra-t-on semer de graines pour que la probabilité d’avoir au moins un plan bon à repiquer soit supérieure à 0,99 ? EXERCICE 10 La société K-Gaz produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm3. On admet que 5 % des bonbonnes n’ont pas la contenance nécessaire, et sont donc jugées non conformes. Les grossistes achètent les bonbonnes par lots de 10. 1) La production est suﬃsamment importante pour que l’on assimile le prélèvement au hasard de 10 bonbonnes à un tirage avec remise. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout lot de 10 bonbonnes, associe le nombre de bonbonnes non conformes. 2) Expliquer pourquoi Y suit la loi binomiale dont vous préciserez les paramètres. 3) Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il n’y ait aucune bonbonne non conforme ? 4) Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il y ait au plus deux bonbonnes non conformes ? EXERCICE 11 Une entreprise fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces pour l’industrie automobile. Les résultats approchés sont à arrondir à 10−3. On note E l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans un stock important uploads/Ingenierie_Lourd/ exercices-loi-binomiale.pdf