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atome hydrogene pdf Chapitre II L ? atome d ? hydrogèneRésolution de l ? équation de Schr? dinger Expression en coordonnées cartésiennes passage aux coordonnées sphériques L ? équation de Schr? dinger pour l ? atome d ? hydrogène sera écrite en faisant l

Chapitre II L ? atome d ? hydrogèneRésolution de l ? équation de Schr? dinger Expression en coordonnées cartésiennes passage aux coordonnées sphériques L ? équation de Schr? dinger pour l ? atome d ? hydrogène sera écrite en faisant l ? approximation que le noyau dont la masse est fois celle de l ? électron constitue le centre de gravité du système o? il est immobile ce qui revient à négliger son énergie cinétique L ? énergie cinétique de l ? atome se réduit donc à celle de l ? électron il lui est associé l ? opérateur h ?? ? m L ? énergie potentielle de l ? atome de nature purement électrostatique s ? écrit en fonction de la distance r de l ? électron au noyau V ?? e ? r L ? opérateur associé est la simple multiplication par V et l ? équation de Schr? dinger en SI et coordonnées cartésiennes est P Chaquin LCT-UPMC C h ?? ? ? x y z ?? e ? x y z E ? x y z m ? x y z En u a ?? ? ? x y z ?? ? x y z E ? x y z x y z Cette équation ne peut être résolue que par passage aux coordonnées sphériques adaptées à la symétrie du système z rM y x r ? ? ? ? ? ? m x r sin cos y r sin sin z r cos Fig Dé ?nition des coordonnées sphériques La transformation du laplacien en coordonnées sphériques particulièrement fastidieuse conduit à l ? expression suivante de H en unités atomiques H ?? r F EE F EF F F ? ? r F EBF EC F ED r ? ? r F F F F F F sin ? ? F EBF EC F ED sin ? ? F F F F F F sin ? ? F F F FA F FB ?? r Nous avons signalé que l ? on peut mesurer simultanément une composante du moment cinétique orbital l L et son carré L Nous choisissons pour cette composante Lz particularisée par la manière dont sont dé ?nies les coordonnées sphériques qui privilégie l ? axe z L z ??i ? ? L sin ? ? F ECF EB F ED sin ? ? F F F F F F sin ? ? L ? opérateur prend alors la forme H ?? r F EE F F F EF ? ? r F EBF EC F ED r ? ? r F F F F F F L F F F FBF FA ?? r Moment cinétique dû au mouvement de l ? électron par rapport au noyau se distingue du moment cinétique de spin cf infra ? P Chaquin LCT-UPMC C Les trois opérateurs L et Lz commutent ils ont donc un ensemble commun de fonctions propres ? r Cette constatation fournit une stratégie de résolution de l ? équation de Schr?