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determinants CHAPITRE V ??DÉTERMINANTS DÉTERMINANTS Dans tout le chapitre K désigne R ou C et désigne un entier naturel non nul I Applications p-linéaires PSI - D Soit ?? N ? Une application p-linéaire sur un K -espace vectoriel à valeurs dans un K -espac

CHAPITRE V ??DÉTERMINANTS DÉTERMINANTS Dans tout le chapitre K désigne R ou C et désigne un entier naturel non nul I Applications p-linéaires PSI - D Soit ?? N ? Une application p-linéaire sur un K -espace vectoriel à valeurs dans un K -espace vectoriel est une application ? telle que ?? ?? ?? ?? ?? l ? application partielle est une application linéaire On notera L l ? ensemble des applications p-linéaires de un sous-espace vectoriel de ? ? ?? dans Il est facile de véri ?er que c ? est D Une forme p-linéaire sur un K -espace vectoriel L ? ensemble L K des formes p-linéaires sur est une application p-linéaire de se note simplement L dans K Exemples Dans un espace préhilbertien le produit scalaire est par dé ?nition une forme bilinéaire Dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension le produit vectoriel est une application bilinéaire Si les sont des formes linéaires sur l ? application ? ? ? est une forme -linéaire sur Rem Ne pas confondre application p- linéaire sur et application linéaire sur Par exemple si est linéaire de dans on a alors que si est -linéaire on a D Une application -linéaire ?? L est dite ? symétrique si pour tout ?? avec pour tout ?? c ? est-à-dire que la valeur de est inchangée lorsque l ? on permute deux arguments ? antisymétrique si pour tout ?? avec pour tout ?? ?? c ? est-à-dire que la valeur de est transformée en son opposée lorsque l ? on permute deux arguments Prop Si est une application -linéaire antisymétrique alors pour toute famille ?? dès qu ? il existe deux indices ?? tels que on a Cours PSI ?? ? T LEGAY ?? Lycée d ? Arsonval septembre CCHAPITRE V ??DÉTERMINANTS PSI - Démonstration Soit une forme -line ?aire antisyme ?trique et soient tels que ?? Alors pour toute famille -e me place -e me place En particulier si on obtient -e me place -e me place cqfd -e me place -e me place ?? Corollaire Si est une application -linéaire antisymétrique alors liée ?? On ne change pas la valeur de si on ajoute à un des vecteurs une combinaison linéaire des autres Démonstration Si la famille est lie ?e un des vecteurs de cette famille est combinaison line ?aire des autres Pour simpli ?er l ? e ?criture supposons que c a soit Alors car vecteurs e ?gaux et antisyme ?triqueSupposons pour simpli ?er l ? e ?criture que l ? on ajoute a un vecteur qui est combinaison line ?aire de Alors puisque la famille est lie ?e II Déterminant d ? un système de vecteurs dans une base désigne par la suite un K -espace vectoriel de dimension B désigne une base de désigne une famille de vecteurs de Le théorème suivant est admis ?? N ? Théorème Étant donnée une base B de il existe une et une seule forme antisymétrique sur telle que Elle s