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ELT2 ENSIL 2006-2007 ContrGle de Wtement de signal Dude : 1H30 Document interdi

ELT2 ENSIL 2006-2007 ContrGle de Wtement de signal Dude : 1H30 Document interdit 1. Algorithme de Goertzel qu'est ce que c'est? Diveloppez les relations et donnez le systkme resultant. Quand est-ce que I'on utllise ' ! 2. Calculer la transformke en Z de la siquence suivante : x(n) = (i)"' u(n + 3) / 3. Calculer la transformke inverse de Z de : 4. Pour le signal causal x(n) nous avons : Calculer x ( O ) et ~(1). x .M-I) 3&, (2) 2-' 5. Pour le graphe ci-dessous, donner l'iquation de diffirence. 6. Soit x(n) une siquence bomie dans le temps de taille M (x(n)=O pour n<O et n>#; soit X(z) la transformte en Z de x(n). Nous souhaitons calculer X(z) uniquement sur les points e~(2dN)k k = 0 1 , , ,..., N - 1. Comment peut on utiliser une TFD de taille N (et sur quelle siquence) pour les cases : a) N 5 M , b) N>M Justifiez bien votre riponse. x(0) = lim X(z) x(n) = WN k = e- j 2 z k l N r+m X(z) = x x(n)z-' N n=o n=-w Deuxième Electronique ENSIL 2004-2005 Contrôle de Traitement de signal Durée : lH30 Document interdit 1- Considérer le système ci-dessous avec S et S2 deux systèmes LIT. a) Quelle est la réponse impulsionnelle du système ( h(n) ) ? .c.\=dn) ; r m b) Le système est-il linéaire ? Est-il invariant dans le temps ? C) Peut-on dire que y(n) = x(n) * h(n) ? 2- Nous avons un filtre causal FIR de taille 1024 : h(n)=O pour n<O et pour n>1023. une séquence infinie (non bornée) x(n) doit être filtrée par ce filtre : a) Une convolution linéaire demande combien de multiplications par échantillons en sortie ? Nous utilisons la méthode « overlap anda dd » pour implanter ce filtre. C'est à dire en gros que la TFD du signal en entrée est multipliée par la TFD du filtre, et on applique la TFD' sur le résultat pour obtenir y(n). b) expliquer cette méthode en détail /I .p\ 9 4 w L k ~ c) Sachant qu'un TFD de taille N=2" demande ?4Nlog2N multiplications complexes, calculer le nombre total de multiplication réelles par échantillon en sortie. (Remarquez que la TFD de h(n) est calculée une seule fois et stockée en mémoire ; à ne pas donc considérée dans le calcul ci-dessus.) 3- Considérer la séquence bornée ci-dessous : 2 2 La valeur de x(4) n'est pas connue et présentée par « a ». On calcule ~ ( 2 " ) et puis, on prend 4 échantillons de ~ ( 2 " ) sur le cercle unité pour obtenir : X(k)=X(e'")l.=o.w> .k=O, 1'2'3 On calcule la TFD-' {X(k)} pour obtenir xl(n). La figure ci-dessous présente ce qu'on obtient A partir de ce résultat, peut-on deviner la valeur de « a » ? (expliquer en détails votre réponse) 4- Nous souhaitons implanter un oscillateur à deux sorties orthogonales comme schématise la figure ci-dessous : On remarque que cet oscillateur peut être considéré comme un système avec h(n)=expowg)u(n) à qui on applique un delta Dirac 6(n). Les sorties souhaitées sont donc les parties réelle et imaginaire de la sortie d'un tel système. Donnez (en expliquant en détail) une structure (diagramme de flot) avec coefficients et opérations réels réalisant cet oscillateur. ~ ( e ")l 2d = TFD BI=- N N-1 j2mk X (k) = x x(n)e Contrôle de Traitement de signal Durée : 1H30 Document interdit 1. Soit H(z) = 0,12 - O,] 5z-' + 0 , 7 8 ~ - ~ + 0 , 7 8 ~ - ~ - 0,l 5z4 + 0,122-' la fonction de transfert d'un système LIT. - Dessiner son diagramme de flot - Dessiner le système transposé - Comment peut-on économiser le nombre de multiplieurs dans cette stmcture transposée? 2. Une séquence x(n) de taille 120 échantillons est à filtrer. La taille de la réponse impulsionnelle du filtre est de 18 (h(n)=O pour n<O et n>17). Nous avons à notre disposition un circuit (ou un programme) qui calcule de manière très efficace la TFD (ou la TFD-') d'une séquence de taille 64. Nous utilisons donc la méthode overlap and add )) pour calculer la sortie du filtre. a. Expliquez de manière précise ce que l'on doit faire. (sans démontrer) b. Calculez le nombre total de multiplications réelles pour obtenir la sortie (les 137 échantillons). N-1 - J 2 d 3. a- A partir de la relation de la Transformée de Fourier Discrète X(k) = xx(n)e , n=O donner la structure (diagramme de flot) d'une TFR (FFT) de taille 4 (décimation dans le temps). (Obtenez la structure à partir de développement que vous faites.) b- En suivant la structure que vous avez présentée, donner la TFD de la séquence ci- dessous : x(n) = 2S(n) + 3S(n - l) + S(n - 2) - S(n - 3) 4. Un canal avec la fonction de transfert H(z) doit être égalisé. L'égalisation se fait uniquement au niveau de fréquence, c'est-à-dire qu'il nous faut mettre en cascade un système stable avec la fonction de transfert Heg(z) tel que : I~,(e'")l.l~(e~")l= 1 1 -1 (1 + 3z-')(l- - z ) Si le H(z) = , donner Heg(z) . 1 -1 z-'(1+-z ) 3 UNIVERSITE DE LIMOGES novembre 03 ENSIL ET12 TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL Examen 1 - Un triangle est le rbsultat d'un prodiiit de convolution de deux rectarigles identiques. Soient la sbquence triangulaire yq[k]. 1- Rappeler i'expression du pmduiî de convolution numerique ainsi que sa durée en fonction de celle des signaux d'origlne. 2 -Trouver les séquences rectangulaires xi [k] et xll[k] de dimei:sion N qui permettent d'obtenir yl[k]. Justifier ce résultat en effectuant le prodult de convolution par la méthode de votre choix. 3- Compte tenu de ce qui prbcbde, déduire la TFSD YI( d2") du yl[k] de façon simple. L'exprimer et la representer en module et argument. Calculer la valeur maximurri de 1 YI( d2" 31 . Pour quelles valei.irs de f ce module s'annule-t-il ? Rappeler les propriétbs principales de cette T F S D. 4 -On modifie la dimension de X I [k], de telle façon que la nouvelle séquence x2[k], issue de xi[k], ait une dimension NI Bgale à celle du triangle y1 [k] (k variant de O B 6). Exprimer son module et son argument. Représenter son module. 5 - Si y1 [k] et x2[k]sont des fenêtres temporelles, énoncer les critères qui permettent de les corriparer. 6 - Comparer alors 1 YI( d2" 3 1 et 1 X2( &2"31 selon ces critères. Choisir la fenetre la plus performante. II - Un système est décrit par le carré du module de sa rbponse en frbquence. 1 - Représente; cette fonction. 2- Comment obtient-on 1 H(z)l à pariir de 1 H(d2")) 2. Montrer que H(z).H(z)' = H(Z).H(Z") en génbral. On se servira de la définition de la Transformée en z et on considérera que h[k] = TZ'[H(Z)] est réel. 3- Exprimer 1 H(zj1 2. L'écrire sous la forme H(z).H(z)'. En dbduire H(z) qui doit 6tre in systbme stable et vérifier que H(z)' = ~(2-l; dans ce cas. 4 - Tracer le diagramme des p8les et des zéros de H(z). Etudier la stabilité du système. 5 - Trouver l'équation aux différences de ce système. 6 - En déduire une structure de réalisation. 7 - Donner la réponse impulsionnelle h [k] du système. I I I -On se propose d'analyser un signal cosinusoidal: Sachant que Fo = 500 Hz, on prélève 128 échantillons de ce signal à la fréquence d'bchantillonnage Fe= 10kHz. 1 - Les données satisfont-elles la condition de Shannon -Justifier. Calculer la TFSD, X2(d2"3 do cette séquence x2[k]. 2 -Exprimer le signal numérique x [k], correspondant B x (t), sous las formes suivantes: k m ~ [ k ] = cos 2rr - = COS 2x - k N o N No 6tant la période normalisée du signal, m un nombre à determiner et N le nombre d16chantillons sur lequel est 6tudi6 le signal x[k]. - Le nombre d'6chantillons représentant une p6riode du signal. - La durée de la fenetre d'analyse Tf . - Le nombre de p6riodes du signal analys6es pendant T, - La r6solution frbquentielle Af avec laquelle sera effectuee l'analyse spectrale. 3 - Calculer l'expression X[n] de la TFD de ce signal en faisant apparaître des sin rrNx fonctions Bquivalentes B : - sin rn 4 - a) Reprbsenter le module de cette TFD à l'aide de deux graphes (un dessin6 B l'échelle normale, le deuxibme dessin6 en dilatant une partie intéressante du spectre). Pour effectuer des diagrammes corrects, il est conseill6 d'esquisser en premier lieu le trac6 des TFSD. b) Repr6senter le signal temporel x [k] sur une durée 2Tf (en faire un tracé continu pour plus de facilitb). Que constatez-vous ? c) Interpr6ter,le spectre (a) et le signal (b). Que proposez-.vous pour améliorer I observation de X[n]. UNIVERSITE DE LIMOGES novembre 99 ENS& FILIERE ELECTRONIQUE 2 TRAITEMENT NITMERIQUE DU SIGNAL Contrôle I- On uploads/Ingenierie_Lourd/ partiels-2-a.pdf