UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques e

UNIVERSITE des SCIENCES et de la TECHNOLOGIE d'ORAN Faculté des mathématiques et Informatique, Département de Mathématiques Année :2019/2020 1e année Master Analyse mathématique et application. Matiére : Théorie spectrale Corrigé de TD N ◦2 ( Opérateurs positifs,adjoints , Résolvante ,théorie spectrale d'Opéra- teurs linéaires bornés Exercice 1. 1) L'opérateur T étant autoadjoint son spectre est réel d'où i et −i n'appartiennent pas à σ(T) et les résolvantes T + iIdH et T −iIdH sont inversibles d'où (IdH −iT) = −i(T + iIdH) est inversible son inverse est i(T + iIdH)−1 et (IdH + iT) = i(T −iIdH) est inversible d'inverse −i(T −iIdH)−1. 2) ( Il y a erreur sur la che à corriger) On a (IdH + iT)(IdH −iT) = (IdH −iT)(IdH + iT) = IdH + T 2 alors en multipliant à gauche l'égalité par ((IdH + iT)−1) on obtient ((IdH+iT)−1)(IdH+iT)(IdH−iT) = ((IdH+iT)−1)(IdH−iT)(IdH+iT) d'où (IdH−iT) = ((IdH + iT)−1)(IdH −iT)(IdH + iT) puis en multipliant à droite par ((IdH + iT)−1) on obtient (IdH −iT)((IdH + iT)−1) = ((T + iIdH)−1)(IdH −iT)(IdH + iT)((IdH + iT)−1) et le résultat (IdH −iT)((IdH + iT)−1) = ((IdH + iT)−1)(IdH −iT) 3) U = (IdH −iT)((IdH + iT)−1) = ((IdH + iT)−1)(IdH −iT) ⇒U ⋆= (IdH − iT)⋆((IdH + iT)−1)⋆= (IdH + iT ⋆)((IdH −iT ⋆)−1) et comme T ⋆= T on obtient U ⋆= (IdH + iT)((IdH −iT)−1) 4) UU ⋆= (IdH −iT)((IdH + iT)−1)(IdH + iT)((IdH −iT)−1) = IdH et U ⋆U = (IdH + iT)((IdH −iT)−1)(IdH −iT)((IdH + iT)−1) = IdH, U est un opérateur unitaire donc ∥U∥= 1. 5) (IdH +U) = (IdH +iT)(IdH +iT)−1)+(IdH −iT)((IdH +iT)−1) = (IdH +iT +IdH − iT)((IdH + iT)−1) = 2IdH((IdH + iT)−1) = 2((IdH + iT)−1) Par conséquent, (IdH + U) est inversible d'inverse (IdH + U)−1 = 1 2(IdH + iT) On a (I −U) = (IdH +iT)(IdH +iT)−1)−(IdH −iT)((IdH +iT)−1) = 2iT(IdH +iT)−1 et on a (erreur à corriger sur la che ) −i(IdH −U)(IdH +U)−1 = −i2iT(IdH +iT)−1 1 2(IdH + iT) = T. Exercice 2. Montrons d'abord que l'opérateur V = TU 2 est hermitien (autoadjoint), en eet V ⋆= (TUU)⋆= U ⋆U ⋆T ⋆= UUT = U(UT) (car T et U sont hermitiens ). Comme UT = TU ; V ⋆= (UT)U = TUU = V . D'aute part ,∀x ∋H, ⟨V x, x⟩= ⟨x, V x⟩= ⟨x, TU(Ux)⟩= ⟨(TU)⋆x, U(x)⟩= ⟨U(T(x)), U(x)⟩= ⟨T(U(x)), U(x)⟩≥0 car l'opérateur T est positif :( T est hermitien et ⟨T(x), x⟩≥0 ). donc V est positif. Exercice 3.a) En cours nous posé (RT(λ) = (T −λIdH)−1) en TD non. Soient λ, µ ∈ϱ(T), RT(λ)−RT(µ) = (λIdH −T)−1 −(µIdH −T)−1 = (λIdH −T)−1(IdH − (λIdH −T))(µIdH −T)−1) = (µ −λ)RT(λ)RT(µ). b) Montrons que RT(λ) est une application analytique Pour cela on vas montrer que ϱ(T) est un ouvert de C, Soit λ0 ∈ϱ(T) et montons que la boule B(λ0, ∥RT(λ)∥−1) ⊂ϱ(T) , 1 en eet soit λ ∈B(λ0, ∥RT(λ)∥−1) (λIdH −T) = [IdH −(λ0 −λ)RT(λ0)](λ0IdH −T) et comme ∥(λ0 −λ)RT(λ0)∥≤|(λ0 −λ)|∥RT(λ0)∥≤1 alors l'opérateur (λIdH −T) est inversible (Théorème de L'application contractante) et λ ∈ϱ(T) d'où l'inversibilité de (λIdH −T) composé de deux applications inversibles et RT(λ) = RT(λ0)(IdH −(λ0 −λ)RT(λ0))−1 et la série (IdH −(λ0 −λ)RT(λ0))−1 = X n≥1 (λ0 −λ)n(RT(λ0))n est normalement convergente dansB(λ0, ∥RT(λ)∥−1) Ce qui permet de dé nir l'opérateur analytique RT(λ) = RT(λ0) X n≥1 (λ0 −λ)n(RT(λ0))n = X n≥1 (−1)n(λ −λ0)n(RT(λ0))n+1 pour tout λ0 ∈ϱ(T) et RT(λ) est analytique sur tout l'ouvert ϱ(T). c) Si |λ| > ∥T | alors λ ∈C et λ ̸= 0. ∥λ−1T∥< 1 ⇒IdH −λ−1T est inversible (Théorème sur l'application contractante) et on a (IdH −λ−1T)−1 = P n≥0(λ−1T)n) et RT(λ) = (λIdH −T)−1 = λ−1((IdH −λ−1T)−1) = λ−1(P n≥0(λ−1T)n) = λ−1 P n≥0( T n λn ) = P n≥0( T n λn+1) d) Par récurrence n=1 d dλRT(λ) = d dλ(λIdH −T)−1) = −(λIdH −T)−2) = −(RT(λ))2 Supposons dn dλnRT(λ) = (−1)nn!(RT(λ))n+1 on a dn+1 dλn+1RT(λ) = d dλ(−1)nn!(RT(λ))n+1 = (−1)n+1n!(n + 1)(λIdH −T)−n−2) = (−1)n+1n!(n + 1)(RT(λ))n+2 2 uploads/Litterature/ corrige-td2-spect2020.pdf

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littérature −it)((idh (λidh l'opérateur inversible ((idh
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