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TOUTES LES MATHÉMATIQUES et les bases de l’informatique Horst Stöcker Professeu

TOUTES LES MATHÉMATIQUES et les bases de l’informatique Horst Stöcker Professeur à l’université J. W. Goethe à Francfort-sur-le-Main (Allemagne) Traduit par Vincent Bosser Ancien élève de l’École Centrale de Lyon Docteur ès mathématiques de l’université Paris 6 Assistant de mathématiques à l’université de Bâle (Suisse) et Sandra Marcello Docteur ès mathématiques de l’université Paris 7 © Dunod, Paris, 2005 ISBN 978-2-10-070263-3 Principaux collaborateurs Prof. Dr.-Ing. Holger Lutz, FH Gießen-Friedberg, Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Math. Monika Lutz, FH Gießen-Friedberg Dr. Jens Konopka, Uni Frankfurt, (1 & 2) avec Dr.-Ing. Dieter Zetsche, Mercedes-Benz AG, Stuttgart, Prof. Dr. Helmut Kuhnle, Uni Hohenheim Dr. André Jahns, Uni Frankfurt, (3 & 4) avec Prof. Dr. Hans Babovsky, Uni Kaiserslautern, Dipl.-Phys. Nina Flach, Dresden, Prof. Dr. Steffen Bohrmann, FHT Mannheim Dr. Christoph Hartnack, École des Mines et Subatech Nantes, (5 & 16) avec Prof. Dr. Steffen Bass, Duke University, Prof. Dr.-Ing. Rainer Fremd, FH Rheinland-Pfalz, Abt. Kaiserslautern Dr. Jürgen Schaffner, Columbia University, (6–8 & 12–15) avec Dr. Mario Vidovi´ c, Uni Frankfurt, Prof. Dr.-Ing. Holger Lutz, FH Gießen-Friedberg, Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Math. Monika Lutz, FH Gießen-Friedberg Prof. Dr. Horst Stöcker, Uni Frankfurt, (9) avec Dr. Christian Hofmann, TU Dresden, Dipl.-Ing. Helmut Kutz, Mauser AG, Oberndorf Dr. Klaus Rumrich, Uni Frankfurt, (10 & 24) avec Dipl.-Inform. Inge Rumrich, Uni Frankfurt, Prof. Dr. Wieland Richter, Uni GH Paderborn Prof. Dr. Siegfried Fuchs, Dresden, (11 & 21) avec Dr. Raffaele Mattiello, Uni Frankfurt, Prof. Dr. Georg Terlecki, FH Rheinland-Pfalz, Abt. Kaiserslautern Prof. Dr. Dirk Rischke, Univ. Frankfurt, (17) avec Prof. Dr. Rudolf Pitka, FH Frankfurt Dr. Thomas Schönfeld, Uni Frankfurt, (18) avec Prof. Dr. Wilhelm Werner, FH Heilbronn, Außenstelle Künzelsau Dr. Volker Blum, Schumann & Partner, Köln, (19 & 20) avec Dr. Christoph Best, Uni Frankfurt, Phys. Techn. Ass. Astrid Steidl, NTA Isny, Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Wendt, FHT Esslingen Prof. Dr. Adolf Grauel, Uni GH Paderborn, (22) Dr. Arnd Bischoff, Uni Frankfurt, (23) avec Prof. Dr. Bernd Schürmann, Siemens AG Dr. Markus Hofmann, Uni Frankfurt, (24) avec Dr. Christian Spieles, Uni Frankfurt, Prof. Dr. Günter Flach, Dresden Dipl.-Phys. Luke Winckelmann, Uni Frankfurt, (25) avec Prof. Dipl.-Ing. Jürgen Wendeler, FH der Telekom Dieburg Avant-propos Toutes les mathématiques et les bases de l’informatique a été réalisé par des scientiﬁques professionnels, des ingénieurs et des universitaires, qui sont des experts dans l’utilisation quotidienne des mathématiques. Dans l’enseignement et dans les activités professionnelles actuelles, les méthodes d’analyse mathématique sont de plus en plus complétées par des méthodes de calcul numérique et l’utilisation de logiciels informatiques. Cet ouvrage est connu internationalement pour sa clarté, son exhaustivité, et sa capacité à uniﬁer les mathématiques en un même sujet pour l’usage quotidien des mathématiciens, des scientiﬁques et des ingénieurs. Toutes les mathématiques et les bases de l’informatique rassemble : – les connaissances fondamentales pour les élèves de terminales scientiﬁques, les étudiants des premiers cycles universitaires, ainsi que pour les étudiants des classes préparatoires et des écoles d’ingénieurs, – des connaissances complémentaires pour des études avancées, – la culture scientiﬁque générale pour les scientiﬁques et les ingénieurs en activité. Toutes les mathématiques et les bases de l’informatique est particulièrement conçu : – pour un accès rapide à une source d’information lors de la résolution de problèmes, – comme aide-mémoire lors de la préparation d’examens, – comme livre de référence pour les personnels de recherche. Chaque chapitre constitue une unité en soi qui réunit : • les notions, formules, règles et lois, des exemples et des applications pratiques, ▷ des conseils, des mises en garde et des indications pour éviter des erreurs fréquentes. La valeur de ce livre a été grandement augmentée par l’incorporation de centaines de tables de fonctions usuelles, de formules, de transformations et de séries. L’utilisateur peut trouver rapidement les renseignements recherchés, grâce à : – une table des matières structurée, – un index détaillé constitué de mots-clés. Le livre Toutes les mathématiques et les bases de l’informatique constitue un ouvrage de référence et un complément utile aux manuels spécialisés usuels. Les commentaires ou suggestions du lecteur pour les éditions futures seraient appréciés des auteurs et peuvent être envoyés à l’adresse électronique suivante : Stocker@Uni-Frankfurt.de. Table des matières CHAPITRE 1 • CALCUL NUMÉRIQUE (ARITHMÉTIQUE) 1 1.1 Ensembles 1 1.2 Systèmes numériques 5 1.3 Entiers naturels 8 1.4 Entiers relatifs 13 1.5 Nombres rationnels (nombres fractionnaires) 13 1.6 Calculer avec des quotients 16 1.7 Mathématiques ﬁnancières 18 1.8 Nombres complexes 23 1.9 Nombres réels 23 1.10 Nombres complexes 23 1.11 Calculer avec des nombres réels 25 1.12 Formule du binôme 38 CHAPITRE 2 • ÉQUATIONS ET INÉGALITÉS (ALGÈBRE) 43 2.1 Lois algébriques fondamentales 43 2.2 Équations à une inconnue 47 2.3 Équations linéaires 49 2.4 Équations quadratiques 50 2.5 Équations cubiques 51 2.6 Équations de degré quatre (équations quartiques) 53 2.7 Équations de degré quelconque 54 2.8 Équations rationnelles 55 2.9 Équations irrationnelles 56 2.10 Équations transcendantes 57 X Table des matières 2.11 Équations avec des valeurs absolues 59 2.12 Inégalités 61 2.13 Résolution numérique d’équations 62 CHAPITRE 3 • GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE DU PLAN 69 3.1 Lieux géométriques 70 3.2 Constructions de base 70 3.3 Angles 72 3.4 Triangles semblables et théorème de Thalès 75 3.5 Triangles 78 3.6 Quadrilatères 94 3.7 Polygones réguliers 98 3.8 Objets curvilignes 101 CHAPITRE 4 • GÉOMÉTRIE DES SOLIDES 105 4.1 Théorèmes généraux 105 4.2 Prisme 106 4.3 Pyramide 108 4.4 Polyèdre régulier 109 4.5 Autres solides 111 4.6 Cylindre 112 4.7 Cône 113 4.8 Sphère 115 4.9 Géométrie sphérique 117 4.10 Solides de révolution 120 4.11 Géométrie fractale 122 CHAPITRE 5 • FONCTIONS 127 5.1 Suites, séries et fonctions 127 5.2 Discussion sur les courbes 136 5.3 Propriétés de base des fonctions 143 c ⃝Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Table des matières XI Fonctions simples 149 5.4 Fonction constante 149 5.5 Fonction saut 152 5.6 Fonction valeur absolue 157 5.7 Fonction de Dirac (delta) 161 5.8 Fonction partie entière, partie fractionnaire (ou mantisse) 165 Fonctions polynomiales 169 5.9 Fonction linéaire — droite 169 5.10 Fonction quadratique — parabole 173 5.11 Équation cubique 177 5.12 Fonctions puissances de degré plus élevé 181 5.13 Polynômes de degré plus élevé 187 5.14 Représentation de polynômes et polynômes particuliers 191 Fonctions rationnelles 208 5.15 Hyperbole 209 5.16 Inverse d’une fonction quadratique 212 5.17 Fonctions puissances avec un exposant négatif 217 5.18 Quotient de deux polynômes 221 Fonctions algébriques irrationnelles 230 5.19 Fonction racine carrée 230 5.20 Fonction racine 234 5.21 Fonctions puissances à exposant fractionnaire 237 5.22 Racines de fonctions rationnelles 242 Fonctions transcendantes 250 5.23 Fonctions logarithmiques 251 5.24 Fonction exponentielle 256 5.25 Fonctions exponentielles de puissances 263 XII Table des matières Fonctions hyperboliques 269 5.26 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques 271 5.27 Fonctions tangente hyperbolique et cotangente hyperbolique 278 5.28 Fonctions sécante hyperbolique et cosécante hyperbolique 285 Fonctions hyperboliques inverses 289 5.29 Argument sinus hyperbolique et argument cosinus hyperbolique 291 5.30 Argument tangente hyperbolique et argument cotangente hyperbolique 294 5.31 Argument sécante hyperbolique et argument cosécante hyperbolique 298 Fonctions trigonométriques 301 5.32 Fonctions sinus et cosinus 306 5.33 Fonctions tangente et cotangente 325 5.34 Sécante et cosécante 332 Fonctions trigonométriques inverses 338 5.35 Fonctions arc sinus et arc cosinus 340 5.36 Fonctions arc tangente et arc cotangente 344 5.37 Fonctions arc sécante et arc cosécante 348 Courbes planes 352 5.38 Courbes algébriques d’ordre n 352 5.39 Courbes cycloïdales 358 5.40 Spirales 360 5.41 Autres courbes 362 CHAPITRE 6 • CALCUL VECTORIEL 363 6.1 Algèbre vectorielle 363 6.2 Produit scalaire 372 6.3 Produit vectoriel de deux vecteurs 377 6.4 Produit mixte de vecteurs 379 c ⃝Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Table des matières XIII CHAPITRE 7 • SYSTÈMES DE COORDONNÉES 383 7.1 Systèmes de coordonnées en dimension deux 383 7.2 Transformation de coordonnées en dimension deux 385 7.3 Systèmes de coordonnées en dimension trois 388 7.4 Transformation de coordonnées en dimension trois 391 7.5 Application à l’infographie 393 7.6 Transformations 393 7.7 Projections 408 7.8 Transformation fenêtre-clôture (window-viewport transformation) 414 CHAPITRE 8 • GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 417 8.1 Éléments du plan 417 8.2 Droite 418 8.3 Cercle 422 8.4 Ellipse 424 8.5 Parabole 428 8.6 Hyperbole 431 8.7 Équation générale des coniques 435 8.8 Éléments dans l’espace 437 8.9 Droites dans l’espace 439 8.10 Plans dans l’espace 441 8.11 Forme normale d’une surface d’ordre deux (quadrique) 445 8.12 Surface générale d’ordre deux (quadrique) 449 CHAPITRE 9 • MATRICES, DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES 453 9.1 Matrices 453 9.2 Matrices spéciales 456 9.3 Opérations sur les matrices 463 9.4 Déterminants 472 9.5 Systèmes d’équations linéaires 485 XIV Table des matières 9.6 Méthodes de résolution numérique 488 9.7 Résolution itérative des systèmes d’équations linéaires 504 9.8 Table des méthodes de résolution 509 9.9 Équations aux valeurs propres 511 9.10 Tenseurs 514 CHAPITRE 10 • ALGÈBRE DE BOOLE APPLICATION À L’ALGÈBRE DE LA COMMUTATION 517 10.1 Notions de base 517 10.2 Opérateurs booléens 518 10.3 Fonctions booléennes 522 10.4 Formes normales 523 10.5 Diagrammes de Karnaugh-Veitch 527 10.6 Minimisation selon Quine et McCluskey 530 10.7 Logique multivaluée et logique ﬂoue 533 CHAPITRE 11 • GRAPHES ET ALGORITHMES 537 11.1 Graphes 537 uploads/Litterature/ feuilletage-418.pdf