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Caracterisation des valeurs propres

Reduction des endos Caractérisation des valeurs propres Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel à de dimension ?nie égale est une valeur propre de si et seulement si et Or la propriété propriété équivaut à la Donc est une valeur propre de si et seulement si et Ce qui équivaut à et L'intérêt de ce résultat est que n'appara? t plus dans la formule et que l'on a réussi à disjoindre et Ce résultat peut encore être amélioré en utilisant la caractérisation d'un endomorphisme non injectif dans un espace de type ?ni de dimension En e ?et on a les équivalences suivantes rang det D'o? la propriété i Propriété Caractérisation d'une valeur propre Un élément du corps de base de l'espace vectoriel est une valeur propre de si et seulement si det Cette propriété donne donc un procédé pratique pour déterminer les valeurs propres d'un endomorphisme Exemple Soit l'endomorphisme de dé ?ni par o? désigne la base canonique de Pour déterminer ses valeurs propres il faut d'après la caractérisation précédente chercher les éléments de tels que det Pour cela il est Cnaturel d'écrire la matrice associée à dans la base canonique et de calculer det qui est égal à det On a et par conséquent det Donc det Les réels et sont donc les valeurs propres de Exemple Soit l'endomorphisme de dé ?ni par o? désigne la base canonique de De même que précédemment on écrit la matrice canonique et on calcule det associée à dans la base On a et par conséquent det Or il n'y a pas de réels tels que soit nul le discriminant du trinôme est strictement négatif Donc l'endomorphisme n'admet pas de valeurs propres Exemple Soit l'endomorphisme de dé ?ni par o? désigne la base canonique de De même que précédemment on écrit la matrice associée à dans la base canonique et on calcule det On a et par conséquent det La seule valeur réelle de annulant det Donc a une seule valeur propre qui est est Polynôme caractéristique COn a donc vu appara? tre naturellement l'expression det Elle va être étudiée plus précisément en introduisant le vocabulaire des polynômes Soit un élément du corps de base Pour calculer le déterminant de l'endomorphisme de il est nécessaire c'est illustré par les exemples précédents d'introduire la matrice associée à par rapport à une base de Soit donc une base de et la matrice associée à par rapport à cette base Alors la matrice associée à est et par conséquent det det Si on a det det L'expression explicite de ce déterminant prouve que c'est une expression polynômiale en de degré dont le coe ?cient du terme de plus haut degré est égal à Si est la matrice associée à par rapport à une autre base de les matrices et sont semblables donc aussi les matrices et elles ont donc même déterminant Donc l'expression det ne dépend que de et non pas du choix de la base de et de la matrice qui lui est associée dans cette