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Nombre Pi Le nombre  Qu'est-ce que le nombre   ? Le nombre   et son hist

Nombre Pi Le nombre  Qu'est-ce que le nombre   ? Le nombre   et son histoire Des décimales de  Fraction continue Valeurs approchées de  Quelques belles formules Des poèmes pour retenir Pi Des programmes de calcul de   en javascript D'autres petites choses marrantes ... Calculer   avec des élèves Quelques liens Qu'est-ce que le nombre  ? " = 3,14" comme on dit ... Mais qu'est-ce que ce nombre  ( pi ) au juste ? Pour le commun des mortels ... Tout le monde (enfin, ... en principe !) connaît la formule qui donne le périmètre d'un cercle à partir de son diamètre ou de son rayon et du nombre  qui vaut quelque chose comme 3,1415926535... : soit et soit que l'on écrit D'où la définition classique de pi qui est :  ( pi ) est le rapport constant entre la longueur d'un cercle (le périmètre du cercle) et son diamètre (le double de son rayon). ou encore Ou bien encore, à partir de la formule permettant de calculer l'aire (la "surface") d'un disque (le disque est la surface comprise à l'intérieur du cercle) à partir de son rayon : soit on obtient la définition suivante de pi (qui est équivalente à la précédente) :  ( pi ) est le rapport constant entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon. Pour le mathématicien ... La définition n'est pas la même. La définition donnée précédemment à l'aide du périmètre du cercle ou de l'aire du disque est ennuyeuse pour le mathématicien car elle suppose que l'espace dans lequel on se place soit euclidien pour que le rapport "périmètre du cercle / diamètre" soit constant et indépendant du cercle choisi (ce qui n'est pas vrai lorsqu'on trace des cercles sur une sphère, par exemple) et également qu'une théorie de l'intégration soit développée sur cet espace pour pouvoir calculer le périmètre du cercle ou l'aire du disque. Aussi les mathématiciens préfèrent-ils une définition basée sur l'analyse. Evidemment, elle est équivalente à la définition précédente. On obtient toujours le même nombre pi ! Voici la définition que l'on peut trouver dans un livre d'analyse (Analyse, J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Editions Dunod, 1988, page 217) On appelle pi et on note  le double de l'unique racine de l'équation cos(x) = 0, comprise entre 0 et 2. ( La fonction cos ayant été définie à la page 210 par ) Ce qui est équivalent à :  ( pi ) est le plus petit nombre réel  > 0 tel que cos() = -1 Ou bien encore,  ( pi ) est la moitié de la période fondamentale de la fonction cosinus, c'est-à-dire :  est le plus petit nombre réel  > 0 tel que cos étant la fonction cosinus définie à partir de la fonction exponentielle, elle-même définie comme la somme d'une série entière sur l'ensemble des nombres complexes... Pour tout nombre complexe z, et soit Démonstration Pour de plus amples détails et des démonstrations sur cette définition (définition par série entière, convergence, dérivabilité, périodicité, ...etc des fonctions réelles et complexes exponentielles, cosinus et sinus, équivalence avec la définition classique de pi), télécharger le document suivant : Définition par série entière des fonctions réelles et complexes exponentielles, cosinus et sinus : fichier PDF non zippé, 325 ko fichier PDF zippé, 42 ko Pour Bourbaki ... Nicolas Bourbaki est le nom d'un collectif de mathématiciens qui ont entrepris depuis 1935 de réécrire l'ensemble des mathématiques de la manière la plus rigoureuse possible, dans un ensemble d'ouvrages nommé Eléments de mathématiques. Dans le volume Fonctions de variable réelle ( FVR), Bourbaki défini le nombre pi. Pour cela, il a été défini dans le volume de Topologie générale (TG, VII, p.8) l'homomorphisme continu x |--> e(x) du groupe additif (R, +) sur le groupe multiplicatif (U, .) des nombres complexes de module 1, fonction périodique de période 1 et telle que e(1/4) = i. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? En réalité, nous connaissons tous cette fonction sous le nom de x |--> exp(2ix) ... Ensuite, en FVR II.4, arrive la proposition 3 : La fonction e(x) admet en tout point de R, une dérivée égale à 2i e(x), où  est une constante >0. Dans la démonstration de cette proposition, il est démontré que la dérivée de le fonction e(x) est égale à  e(x) où  est une constante et  >0. Ensuite, il est dit : "il est d'usage de désigner le nombre  ainsi défini par la notation 2." Et voila comment Bourbaki nous montre que le voyage en haute altitude que nous croyions effectuer n'était en fait qu'une promenade au milieu d'un paysage qui nous est très familier mais qui était juste un peu ... embrumé ! "Il est d'usage" ... Pour la Bible ... Dans le passage de la Bible 1. Rois 7.23 : "Il fit la Mer en métal fondu, de dix coudées de bord à bord, à pourtour circulaire de 5 coudées de hauteur ; un fil de 30 coudées en mesurait le tour" Ceci donne la valeur 3 pour . Dieu n'aurait-il pas arrêté son calcul un peu trop vite ? Ou bien l'univers que Dieu a créé n'est pas euclidien et a une courbure telle qu'un cercle a pour circonférence le triple de son diamètre ? ... Retour vers le haut de la page Le nombre  et son histoire L'historique de  Les premiers calculs de décimales du nombre  La notation "   " Nature algébrique de  La quadrature du cercle Nombres constructibles à la règle et au compas Retour vers le haut de la page L'historique de  Le nombre pi est connu depuis l'antiquité, évidemment, pas au sens où nous l'entendons maintenant (notion abstraite de constante mathématique) mais en tant que rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et d'ailleurs surtout en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l'aire du disque). Les notations utilisées sont les notations actuelles (signes + et = , trait de fraction , notation décimale), qui sont utilisées depuis le XVIème siècle. En 2000 av.JC, les Babyloniens connaissaient Pi (comme le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, mais pas comme objet mathématique). Ils avaient comme valeur 3 + 7/60 + 30/3600 (ils comptaient en base 60) soit 3 + 1/8 = 3,125. Vers 1650 av.JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)2 qui vaut environ 3,16. Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, acheté par un Ecossais qui s'appelle ... Henry Rhind. Il est conservé au British museum. Le Papyrus de Rhind provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte (la ville où est érigé le temple de Karnak) et fut acheté par Alexander Rhind. Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l'origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes dont, par exemple, la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1), de l'arithmétique ( multiplications et divisions ), résolution d'équations, l'arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides . Cliquez sur l'image pour la voir en plus grand Ensuite, pi apparaît : En Chine vers 1200 av.JC, avec pour valeur 3. Dans la Bible vers 550 av.JC, avec pour valeur 3. En Grèce , avec en particulier Archimède en 250 av.JC qui donne l'encadrement 223/71 < pi < 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666. En Chine au Vème siècle , avec pour valeur 355/113. En Inde : 3 + 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) avec Brahmagupta en 640 Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbekistan) et Al Kashi en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi. En Europe : l'Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593). Ensuite vint le développement des techniques de calculs avec l'analyse (dérivée, intégrales, sommes de séries, produits infinis ...), Wallis en 1655, Newton (16 décimales en 1665), Gregory, Leibniz, Machin (100 décimales en 1706), puis Euler (20 décimales calculées en une heure ! )vers 1760 et beaucoup d'autres. Les champions contemporains sont les frères Chudnovsky avec 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Tamura dont le dernier record datait de 1999 avec 206 milliards de décimales (en environ 33 heures de calculs). Kanada a battu son propre record le 6 décembre 2002 avec une équipe de neuf autres chercheurs japonais du Information Technology Centre de l'Université de Tokyo : 1 241 uploads/Litterature/ nombre-pi.pdf