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4ème A + E Février 2003 Problèmes d’optimisation ( Analyse - Dérivées ) Exercic

4ème A + E Février 2003 Problèmes d’optimisation ( Analyse - Dérivées ) Exercice 1 : Soit un triangle ∆ABC rectangle en B avec AB = c et BC = a . M est un point quelconque du segment ]BC[, N = p(AB)(M)∈(AC) et P = p(BC)(N)∈(AB). Le quadrilatère MNPB ainsi construit est un rectangle . Etudier les variations du périmètre et de l’aire du rectangle BMNP. Exercice 2: Soit un R.O.N. R = (O , Å i , Å j ), le cercle C (O,OA), A(a,0) et a > 0. M est un point du segment ]O,A[. Etudier les variations de l’aire du rectangle OMNP, où N est le point du cercle C tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA)(N)∈(OJ). Exercice 3: Soit un R.O.N. R = (O , Å i , Å j ), le graphique Γf de la fonction f définie par y = f(x) = ax2 + bx + c, et a < 0 , c > 0 et b = 0 . M est un point du segment ]O,A[ et A ∈ Γf ∩ [O,I). Etudier les variations de l’aire du rectangle OMNP, où N est le point du graphique Γf tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA)(N)∈(OJ). Exercice 4: Soit un R.O.N. R = (O , Å i , Å j ) et la fonction f définie par y = f(x) = 2 x 1 3 2 − . M est un point du segment ]O,A[ et A ∈ Γf ∩ [O,I). Etudier les variations de l’aire du rectangle OMNP, où N est le point du graphique Γf tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA)(N)∈(OJ). Exercice 5 : Soit un rectangle ABCD de côté AB=a et BC=b et le triangle isocèle exinscrit EFG. Etudier les variations de l’aire de ce triangle. Γf 4ème A + E Février 2003 Problèmes d’optimisation - corrigés ( Analyse - Dérivées ) Exercice 1 : Soit un triangle ∆ABC rectangle en B avec AB = c et BC = a . M est un point quelconque du segment ]BC[, N = p(AB)(M)∈(AC) et P = p(BC)(N)∈(AB). Le quadrilatère MNPB ainsi construit est un rectangle . Etudier les variations du périmètre et de l’aire du rectangle BMNP. Posons la variable x = BM et le paramètre y = BP Aire : s(x) = BM ⋅ BP = x ⋅ y ; or y = f(x) si (AC) = Γf équation de (AC) : y –yo = m(x - xo) et xo = 0 , yo = c et m = 0 - a c - 0 ⇔ y = a c - x + c = f(x) d’où s(x) = x⋅( a c - x + c) = a c - x2 + cx et s’(x) = a 2c - x + c = 0 ⇔ x = 2 a : M milieu de [B,C] si a = c = 1, y = f(x) = -x + 1 et s(x) = -x2 + x s’(x) = -2x + 1 = 0 ⇔ x = 2 1 (maximum) Exercice 2: Soit un R.O.N. R = (O , Å i , Å j ), le cercle C (O,OA), A(a,0) et a > 0. M est un point du segment ]O,A[. Etudier les variations de l’aire du rectangle OMNP, où N est le point du cercle C tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA)(N)∈(OJ). Posons la variable x = OM et le paramètre y = OP Aire : s(x) = OM ⋅ OP = x ⋅ y ; or y = f(x) si car N∈Γf d’où s(x) = x⋅ x - a 2 2 et s’(x) = x - a 2 2 + x ⋅ 2 2 x a x − − = 2 2 2 2 x a x 2 a − − et s’(x) = 0 ⇔ a2 – 2x2 = 0 ⇔ x = ± 2 2 a si a = 1, y = f(x) = x - 1 2 et s(x) = 2 2 x 1 x 2 1 − − s’(x) = 1 – 2x2 = 0 ⇔ x = 2 2 ≈ 0.707 (maximum) Exercice 3: Soit un R.O.N. R = (O , Å i , Å j ), le graphique Γf de la fonction f définie par y = f(x) = ax2 + bx + c, et a < 0 , c > 0 et b = 0 . M est un point du segment ]O,A[ et A ∈ Γf ∩ [O,I). Etudier les variations de l’aire du rectangle OMNP, où N est le point du graphique Γf tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA)(N)∈(OJ). Posons la variable x = OM et le paramètre y = OP Aire : s(x) = OM ⋅ OP = x ⋅ y ; or y = f(x) si car N∈Γf d’où s(x) = x ⋅ (ax2 + c) = ax3 + cx et s’(x) = 3ax2 + c et s’(x) = 0 ⇔ 3ax2 + c = 0 ⇔ x = ± 3a c - si a = -1 et c = 1 , y = f(x) = -x2 +1 et s(x) = -x3 + x s’(x) = -3x2 +1= 0 ⇔ x = 3 3 ≈ 0.577 (maximum) Exercice 4: Soit un R.O.N. R = (O , Å i , Å j ) et la fonction f définie par y = f(x) = 2 x 1 3 2 − . M est un point du segment ]O,A[ et A ∈ Γf ∩ [O,I). Etudier les variations de l’aire du rectangle OMNP, où N est le point du graphique Γf tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA)(N)∈(OJ). Posons la variable x = OM et le paramètre y = OP Aire : s(x) = OM ⋅ OP = x ⋅ y ; or y = f(x) si car N∈Γf d’où s(x) = x ⋅ 2 x 1 3 2 − et s’(x) =         =         + 2 2 2 2 x - 1 2x - 1 3 2 x - 1 x - x x - 1 3 2 et s’(x) = 0 ⇔ 1 - 2x2 = 0 ⇔ x = 2 2 2 1 ± = ± si y = f(x) = 2 x 1 3 2 − et s(x) = x ⋅ 2 x 1 3 2 − s’(x) = 0 ⇔ x = 2 2 ≈ 0,707 (maximum) Γf 4ème A + E Février 2003 Exercice 5 : Corrigé Déterminer la fonction a qui donne l’aire a(x) d’un triangle isocèle ∆MNP circonscrit à un rectangle fixe ABCD dont les dimensions sont AB = a = 2 et BC = b = 1, avec x = HP, hauteur du triangle ∆MNP, comme variable. ♥ constantes : a = 2 et b = 1 ♥ fonction : aire = base ⋅ hauteur = 2 1 MN ⋅ HP = MH ⋅ HP = y ⋅ x ♥ variable : HP = x, avec 1 < x ♥ paramètre : MH = y ♥ calcul de a(x) : a(x) = y ⋅ x ; exprimons y en fonction des constantes et de la variable x : avec le théorème de Thalès dans ∆MHP et ∆DIP , on a       = = DP MP PI PH DI MH ⇒ 1 x x 1 y − = ainsi, a(x) = y ⋅ x = 1 x x −⋅ x = 1 x x 2 − Représentation graphique de la fonction a : lorsque le point P se rapproche du point I, x tend vers 1 par la droite et le point K (x ,.a(x)) dessine une courbe qui se rapproche de la droite verticale x = 1, sans jamais la couper. On a +∞ =         = − = + → → > > 0 1 1 x x lim ) x ( a lim 2 1 x 1 x . Cette limite " infinie" traduit la présence d’une droite verticale ( d’équation x = 1 ) qui " accompagne" la courbe de la fonction a lorsque x tend vers 1 . Construction avec Cabri-géomètre : De plus a’(x) = ( ) 2 1 x ) 2 x ( x − − et a’(x) = 0 et x > 1 ⇔ x = 2 et a’(x) > 0 ⇔ x > 2 ; L’aire du triangle MNP est donc maximale en x = 2 et elle vaut a(2) = 4 uploads/Litterature/ optimisation-corrige 2 .pdf