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Cnc maths 1 psi 2017 enonce

ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Éducation Nationale de la ? ? ? ? ? ? ? ? Formation Professionnelle de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti ?que Présidence du Concours National Commun Institut National de Statistique et d'Économie Appliquée CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission aux Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés Session ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Filière PSI Durée heures Cette épreuve comporte pages au format A en plus de cette page de garde L'usage de tout type de calculatrice est interdit page de garde CConcours National Commun ?? Session ?? Filière PSI L ? énoncé de cette épreuve particulière aux candidats de la ?lière PSI comporte pages L ? usage de tout matériel électronique y compris la calculatrice est interdit Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l ? appréciation des copies Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre Le sujet de cette épreuve est composé d ? un exercice et de deux problèmes indépendants entre eux Durée heures al ahira Exercice Calcul de la somme de la série de Riemann n ? n Montrer que pour tou k ?? N ? ? x ? ?? x cos kx dx k Soit x ?? ? a Montrer que pour tout n ?? N ? eix ??einx ??eix e ssiinn nx x i n x b n En déduire que pour tout n ?? N ? cos kx k sin nx cos n x sin x Soit ? une fonction réelle de classe C sur ? Montrer à l ? aide d ? une intégration par parties que lim m ? ? ? ? x sin mx dx Soit g F F F F la fonction réelle dé ?nie sur ? par g x x s ? in ?? x x si x ?? ? F F g ?? Montrer que g est de classe C sur ? a Montrer que pour tout n ?? N ? n k ? ? g x sin n x dx k b Justi ?er la convergence de la série n et montrer que ? n ? n ? n Problème On désigne par R l ? ensemble des réels positifs et par R ? l ? ensemble des réels strictement positifs Dans tout le problème on note L l ? ensemble des fonctions f R ? R continues telles que pour tout entier n pour tout réel x ? f t e ??nxt dt est convergente Pour tout entier n et pour tout f dans L on note Nn f la fonction dé ?nie sur R ? par ??x ?? R ? Nn f