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Contents 1 Introduction 4 1.1 Pointless module? . . . . . . . . . . . . . . . .

Contents 1 Introduction 4 1.1 Pointless module? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 The pedantic mathematician . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Disclaimer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Logic 5 2.1 Truth tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Universe of Discourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Numbers, numbers, all kinds of numbers 8 3.1 The naturals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 The integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 The rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 The irrationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.5 The reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.6 The complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 4 Domino-like proof, and the FUNdaMENTAL Theorem of Arithmetic 9 4.1 Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 The Well-Ordering Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2.1 Proving stuﬀwith the WOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3 Proof by Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3.1 A slight variant of the Principle of Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.4 The FUNdaMENTAL Theorem of Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.5 HCF and LCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.6 Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.6.1 The extended Euclidean Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Integers and Modular Arithmetic 14 5.1 Subgroups of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.2 The wonders of Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.3 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.4 A last thing you should know . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.5 Some Fun Stuﬀ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.5.1 Multiplicative Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.5.2 Gaussian Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6 Rationality + Irrationality = Reality 20 6.1 Decimal Expansions,“to inﬁnity.......and beyond”- Buzz Lightyear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 Going Beyond Reality: The Complex Realm 22 7.1 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7.2 The Conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7.3 The Argument and Absolute Value . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ revision-guide.pdf